Sejam I um intervalo e f: I R uma função contínua no ponto a in I. Segue-se imediatamente das definições de continuidade e limite de sequências que se ( an ) é uma sequência com an in I para todo n e lim n infty an=a, então
lim n infty f(an)=f(a)
Use esse resultado para resolver os seguintes problemas:
Calcule o limite da sequência (an) dada por an=raiz[n]e.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência an=raiz[n]e usando o fato de que se f é contínua e anto a, então f(an)to f(a). O conteúdo envolve limites de sequências e continuidade de funções.

Passo 2

Observamos que raiz[n]e=e^1/n. Assim podemos reescrever
an=e^1/n

Passo 3

Definimos a sequência auxiliar bn=1/n. É claro que bnin(0,infty) e
limntoinftybn=0

Passo 4

Lembramos que a função f(x)=e^x é contínua em todo R, em particular em x=0. Pela propriedade da continuidade, de bnto0 segue-se
limntoinftyf(bn)=fl(limntoinftybnr)=f(0)=e^0

Passo 5

Como an=f(bn), concluímos que
limntoinftyan=e^0=1

Resposta

1

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