( ) Se A, B e C não estão alinhados e A D=B C, então A, B, C e D são vértices de um paralelogramo;

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C não estão alinhados e que
A D=B C.
Queremos mostrar que A,B,C,D são vértices de um paralelogramo, isto é, que ambos os pares de lados opostos são paralelos (e de mesmo comprimento).

Passo 2

Da igualdade
AD=BC
podemos escrever em termos de vetores de posição vec A,vec B,vec C,vec D:
vec D-vec A=vec C-vec B
e daí
vec D=vec A+vec C-vec B

Passo 3

Calculemos agora
DC=vec C-vec D =vec C-l(vec A+vec C-vec Br) =vec B-vec A =AB
Isso mostra que DC e AB são iguais, logo paralelos e de mesmo módulo.

Passo 4

Já tínhamos por hipótese AD=BC, então os segmentos AD e BC também são paralelos e congruentes. Como ambos os pares de lados opostos de ABCD são paralelos e iguais, concluímos que ABCD é um paralelogramo.

Resposta

Verdadeiro.

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