( ) Se e não estão alinhados e , então A, B, C e D são vértices de um paralelogramo;
Passo 1
O enunciado diz que A,B,C não estão alinhados e que A D=B C.
Queremos mostrar que A,B,C,D são vértices de um paralelogramo, isto é, que ambos os pares de lados opostos são paralelos (e de mesmo comprimento).
Passo 2
Da igualdade
AD=BC
podemos escrever em termos de vetores de posição vec A,vec B,vec C,vec D:
vec D-vec A=vec C-vec B
e daí
vec D=vec A+vec C-vec B
Passo 3
Calculemos agora
DC=vec C-vec D =vec C-l(vec A+vec C-vec Br) =vec B-vec A =AB
Isso mostra que DC e AB são iguais, logo paralelos e de mesmo módulo.
Passo 4
Já tínhamos por hipótese AD=BC, então os segmentos AD e BC também são paralelos e congruentes. Como ambos os pares de lados opostos de ABCD são paralelos e iguais, concluímos que ABCD é um paralelogramo.