Neste exercício, faremos algumas questões a respeito da distribuição P V(1x) :
(1,25 ponto) a) Prove que a distribuição P V(1x) in D^prime(R) satisfaz x P V(1x)=1. A partir disso, determine todas as soluções v in D^prime(R) da equação x v=1.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a distribuição de valor principal PVl(tfrac1xr), mostrar que ao multiplicá-la pela função x obtemos a distribuição constante 1 e, em seguida, encontrar todas as soluções vinD'(R) da equação
x,v = 1
Vamos usar o fato de que distribuições podem ser multiplicadas por funções suaves e a representação de PVl(tfrac1xr) via limite de integrals de valor principal.

Passo 2

Definimos para varphiin Cc^infty(R)
llang<= PVl(tfrac1xr),,varphirrang<= =limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonvarphi(x)x,dx
Isso mostra que PVl(tfrac1xr)inD'(R). A multiplicação pela função suave x é dada por
llang<= x,PVl(tfrac1xr),,varphirrang<= =llang<= PVl(tfrac1xr),,xvarphirrang<= =limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonxvarphi(x)x,dx

Passo 3

No integrando tfracxvarphi(x)x=varphi(x), então
llang<= x,PVl(tfrac1xr),,varphirrang<= =limvarepsilonto0^+integral|x|>varepsilonvarphi(x),dx =integral-infty^inftyvarphi(x),dx =llang<= 1,varphirrang<=
Portanto x,PVl(tfrac1xr)=1 como distribuições.

Passo 4

Se v é qualquer solução de x,v=1, então w=v-PVl(tfrac1xr) satisfaz
x,w = x,v - x,PVl(tfrac1xr) = 1 - 1 = 0
Da teoria de distribuições, x,w=0 implica que o suporte de w está contido em 0, logo
w = sumk=0^N ak,de<a^(k)
Mas aplicando x a cada derivada de de<a de<a=de<a^(0) gera zero em x,w. De fato, x,de<a'=-de<aneq0, etc. Logo só sobra
w = C,de<a, CinR

Passo 5

Assim todas as soluções de x,v=1 são
v = PVl(tfrac1xr) + C,de<a, CinR

Resposta

As soluções da equação x,v=1 em D'(R) são
v = PVl(tfrac1xr) + C,de<a,
com C arbitrário.

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