Neste exercício, faremos algumas questões a respeito da distribuição
:
(1,25 ponto) a) Prove que a distribuição
satisfaz
. A partir disso, determine todas as soluções
da equação
.
(1,25 ponto) a) Prove que a distribuição
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a distribuição de valor principal
, mostrar que ao multiplicá-la pela função
obtemos a distribuição constante
e, em seguida, encontrar todas as soluções
da equação
Vamos usar o fato de que distribuições podem ser multiplicadas por funções suaves e a representação de
via limite de integrals de valor principal.
Passo 2
Definimos para
Isso mostra que
. A multiplicação pela função suave
é dada por
Passo 3
No integrando
, então
Portanto
como distribuições.
Passo 4
Se
é qualquer solução de
, então
satisfaz
Da teoria de distribuições,
implica que o suporte de
está contido em
, logo
Mas aplicando
a cada derivada de
só
gera zero em
. De fato,
, etc. Logo só sobra
Passo 5
Assim todas as soluções de
são
Resposta
As soluções da equação
em
são
com
arbitrário.