Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial. Considere c1 e c2 constantes.
x^prime prime prime-x^prime prime+9 x^prime-9 x=0 ; x=c1 cos 3 t+c2 sin 3 t+4 t^2

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea com coeficientes constantes:
x''' - x'' + 9x' - 9x = 0
e a função proposta
x(t) = c1cos3t + c2sin3t + 4t^2
Para verificar se é solução, basta calcular as derivadas e substituir na equação.

Passo 2

Derivando a função, obtemos:
x'(t) = -3c1sin3t + 3c2cos3t + 8t,
x''(t) = -9c1cos3t - 9c2sin3t + 8,
x'''(t) = 27c1sin3t - 27c2cos3t

Passo 3

Substituindo no lado esquerdo da equação:
x''' - x'' + 9x' - 9x = (27c1sin3t - 27c2cos3t) -(-9c1cos3t - 9c2sin3t + 8) +9(-3c1sin3t + 3c2cos3t + 8t) -9(c1cos3t + c2sin3t + 4t^2)
Ao agrupar, cossenos e senos se cancelam, restando apenas termos polinomiais:
-36t^2 + 72t - 8

Passo 4

Para que a função seja solução da EDO homogênea, esse resultado deve ser zero para todo t. Como
-36t^2 + 72t - 8 neq 0,
a função não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função x = c1cos3t + c2sin3t + 4t^2 não é solução da equação diferencial proposta.

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