Seja
e seja
a fronteira do cilindro
e
. Calcule
onde n é a normal exterior. (2,5 pontos)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial aqui. A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x + y + z) \mathbf{k} $ sobre a superfície $ S $, que é a fronteira de um cilindro com a base no plano $ z = 0 $ e altura até $ z = 3 $. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ com a integral de volume da divergência de $ \mathbf{F} $ dentro do volume $ V $ delimitado por essa superfície $ S $. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho, porque calcular uma integral de volume pode ser mais fácil do que a integral de superfície.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} $. A divergência é dada por:
No nosso caso, $ \mathbf{F} = (0, 0, x + y + z) $, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência, que no caso é simplesmente a integral de 1 sobre o volume do cilindro. Basicamente, estamos calculando o volume do cilindro.
Passo 5
O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
Onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura. Aqui, a equação do cilindro é $ x^2 + y^2 \leq 4 $, então $ r = 2 $, e a altura $ h = 3 $.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do volume:
Resposta
O valor da integral de superfície é $ 12\pi $.