Seja F(x, y, z)=(x+y+z) k e seja S a fronteira do cilindro x^2+y^2 <= 4 e 0 <= z <= 3. Calcule integral duplaS F n d S onde n é a normal exterior. (2,5 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial aqui. A questão pede para calcular a integral de superfície de um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x + y + z) \mathbf{k} $ sobre a superfície $ S $, que é a fronteira de um cilindro com a base no plano $ z = 0 $ e altura até $ z = 3 $. Vamos precisar usar o Teorema da Divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ com a integral de volume da divergência de $ \mathbf{F} $ dentro do volume $ V $ delimitado por essa superfície $ S $. Ou seja:
F
Isso simplifica nosso trabalho, porque calcular uma integral de volume pode ser mais fácil do que a integral de superfície.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} $. A divergência é dada por:
F
No nosso caso, $ \mathbf{F} = (0, 0, x + y + z) $, então:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência, que no caso é simplesmente a integral de 1 sobre o volume do cilindro. Basicamente, estamos calculando o volume do cilindro.

Passo 5

O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
V
Onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura. Aqui, a equação do cilindro é $ x^2 + y^2 \leq 4 $, então $ r = 2 $, e a altura $ h = 3 $.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do volume:
V = pi (2)^2 (3) = pi times 4 times 3 = 12pi

Resposta

O valor da integral de superfície é $ 12\pi $.

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