B. 7 Dado w_{1}=3+\mathrm{j} 4 e w_{2}=2 e^{j=14}.
(a) Escreva w_{1} na forma polar.
(b) Escreva w_{2} na forma retangular.
(c) Determine \left|w_{1}\right|^{2} \mathrm{e}\left|w_{2}\right|^{2}.
(d) Escreva w_{1}+w_{2} na forma retangular.
(e) Escreva w_{1}-w_{2} na forma polar
(f) Escreva w_{1} w_{2} na forma retangular
(g) Escreva w_{1} / w_{2}, na forma polar.

Passo 1

O enunciado dá w_{1}=3+\mathrm{j}4 e w_{2}=2e^{\mathrm{j}14}. Preciso responder:
(a) escrever w_{1} na forma polar;
(b) escrever w_{2} na forma retangular;
(c) determinar \left|w_{1}\right|^{2} e \left|w_{2}\right|^{2};
(d) escrever w_{1}+w_{2} na forma retangular;
(e) escrever w_{1}-w_{2} na forma polar;
(f) escrever w_{1}w_{2} na forma retangular;
(g) escrever w_{1}/w_{2} na forma polar.
Informações relevantes dadas: a parte real e imaginária de w_{1} são 3 e 4 respectivamente; w_{2} está em forma polar com módulo 2 e argumento 14 (unidade de \,14 assumida em radianos). Vou usar a notação j para a unidade imaginária e as fórmulas padrão: |w|=\sqrt{\operatorname{Re}(w)^{2}+\operatorname{Im}(w)^{2}}, \arg(w)=\operatorname{atan2}(\operatorname{Im}(w),\operatorname{Re}(w)), e re^{\mathrm{j}\theta}=r(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta).

Passo 2

(a) Calcular módulo e argumento de w_{1}=3+\mathrm{j}4.
Fórmula do módulo:
|w_{1}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Fórmula do argumento (ângulo) usando arctan com atenção ao quadrante (real >0, imag >0 ⇒ 1º quadrante):
\arg(w_{1})=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
Valor numérico:
\arg(w_{1})\approx 0{,}927295218\\ \text{rad}\approx 53{,}1301024^\circ.
Portanto a forma polar é |w_{1}|e^{\mathrm{j}\arg(w_{1})}=5e^{\mathrm{j}0{,}927295218}.

Passo 3

(b) Converter w_{2}=2e^{\mathrm{j}14} para a forma retangular usando a fórmula de Euler:
w_{2}=2\big(\cos 14 + \mathrm{j}\sin 14\big).
Para avaliar \cos 14 e \sin 14 reduzimos o ângulo módulo 2\pi:
14-2\cdot 2\pi=14-12{,}566370614359172=1{,}433629385640828.
Então \cos 14=\cos(1{,}4336293856) e \sin 14=\sin(1{,}4336293856). Usando aproximações truncadas (ver passo numérico):
\cos 14\approx 0{,}1367374,\qquad \sin 14\approx 0{,}9906148.
Multiplicando por 2:
w_{2}\approx 0{,}2734748 + \mathrm{j}\,1{,}9812296.

Passo 4

(c) Calcular \left|w_{1}\right|^{2} e \left|w_{2}\right|^{2}.
Recordando que |re^{\mathrm{j}\theta}|=r:
\left|w_{1}\right|^{2}=(5)^{2}=25,
\left|w_{2}\right|^{2}=(2)^{2}=4.

Passo 5

(d) Somar w_{1}+w_{2} em forma retangular somando partes reais e imaginárias. Usando w_{1}=3+\mathrm{j}4 e o w_{2} aproximado do passo 3:
\operatorname{Re}(w_{1}+w_{2})=3+0{,}2734748=3{,}2734748,
\operatorname{Im}(w_{1}+w_{2})=4+1{,}9812296=5{,}9812296.
Portanto
w_{1}+w_{2}\approx 3{,}2734748 + \mathrm{j}\,5{,}9812296.

Passo 6

(e) Calcular w_{1}-w_{2} em polar: primeiro faço a diferença em retangular, depois converto para polar.
Diferença (retangular):
\operatorname{Re}(w_{1}-w_{2})=3-0{,}2734748=2{,}7265252,
\operatorname{Im}(w_{1}-w_{2})=4-1{,}9812296=2{,}0187704.
Módulo:
|w_{1}-w_{2}|=\sqrt{(2{,}7265252)^{2}+(2{,}0187704)^{2}}.
Calculando numericamente:
(2{,}7265252)^{2}\approx 7{,}434743,\qquad (2{,}0187704)^{2}\approx 4{,}075339,
|w_{1}-w_{2}|\approx \sqrt{7{,}434743+4{,}075339}=\sqrt{11{,}510082}\approx 3{,}391783.
Argumento:
\arg(w_{1}-w_{2})=\arctan\!\left(\frac{2{,}0187704}{2{,}7265252}\right)\approx \arctan(0{,}740596)\approx 0{,}636095\\ \text{rad}\approx 36{,}450^\circ.
Portanto em forma polar:
w_{1}-w_{2}\approx 3{,}391783\,e^{\mathrm{j}0{,}636095}.

Passo 7

(f) Calcular w_{1}w_{2} na forma retangular. Método mais simples: usar forma polar para multiplicar (módulos multiplicam, argumentos somam) e depois converter para retangular.
De w_{1}=5e^{\mathrm{j}0{,}927295218} e w_{2}=2e^{\mathrm{j}14} segue
w_{1}w_{2}=(5\cdot 2)e^{\mathrm{j}(0{,}927295218+14)}=10e^{\mathrm{j}14{,}927295218}.
Reduzir o ângulo para conversão: 14{,}927295218-2\cdot 2\pi=14{,}927295218-12{,}566370614359172=2{,}360924603640828 rad.
Agora converter:
w_{1}w_{2}=10\big(\cos 2{,}3609246 + \mathrm{j}\sin 2{,}3609246\big).
Avaliações numéricas:
\cos 2{,}3609246\approx -0{,}710697,\qquad \sin 2{,}3609246\approx 0{,}703497.
Multiplicando por 10:
w_{1}w_{2}\approx -7{,}10697 + \mathrm{j}\,7{,}03497.
(Verificação alternativa multiplicando retangularmente (3+\mathrm{j}4)(0{,}2734748+\mathrm{j}1{,}9812296) dá resultados compatíveis.)

Passo 8

(g) Calcular w_{1}/w_{2} na forma polar — usar polar é direto: dividir módulos e subtrair argumentos.
Módulo:
\frac{|w_{1}|}{|w_{2}|}=\frac{5}{2}=2{,}5.
Argumento:
\arg\!\left(\frac{w_{1}}{w_{2}}\right)=\arg(w_{1})-\arg(w_{2})=0{,}927295218-14=-13{,}072704782\\ \text{rad}.
Normalizo o ângulo somando 4\pi (duas rotações) para ficar num intervalo mais usual (-\pi,\pi]:
-13{,}072704782 + 4\pi \approx -13{,}072704782 + 12{,}566370614359172 = -0{,}506334167640828\\ \text{rad}.
Em graus isso é aproximadamente -29{,}010^\circ. Portanto
\frac{w_{1}}{w_{2}}\approx 2{,}5\,e^{\mathrm{j}(-0{,}5063342)}.

Resposta

(a) w_{1}=5e^{\mathrm{j}0{,}927295218} (ou 5\angle 53{,}130^\circ).
(b) w_{2}\approx 0{,}2734748+\mathrm{j}\,1{,}9812296.
(c) \left|w_{1}\right|^{2}=25
\left|w_{2}\right|^{2}=4
(d) w_{1}+w_{2}\approx 3{,}2734748+\mathrm{j}\,5{,}9812296.
(e) w_{1}-w_{2}\approx 3{,}391783\,e^{\mathrm{j}0{,}636095} (≈ 3{,}3918\angle 36{,}45^\circ).
(f) w_{1}w_{2}\approx -7{,}10697+\mathrm{j}\,7{,}03497.
(g) \dfrac{w_{1}}{w_{2}}\approx 2{,}5\,e^{\mathrm{j}(-0{,}5063342)} (≈ 2{,}5\angle -29{,}01^\circ).

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