B. 7 Dado
e
.
(a) Escreva
na forma polar.
(b) Escreva
na forma retangular.
(c) Determine
.
(d) Escreva
na forma retangular.
(e) Escreva
na forma polar
(f) Escreva
na forma retangular
(g) Escreva
, na forma polar.
(a) Escreva
(b) Escreva
(c) Determine
(d) Escreva
(e) Escreva
(f) Escreva
(g) Escreva
Passo 1
O enunciado dá
e
. Preciso responder:
(a) escrever na forma polar;
(b) escrever na forma retangular;
(c) determinar e
;
(d) escrever na forma retangular;
(e) escrever na forma polar;
(f) escrever na forma retangular;
(g) escrever na forma polar.
Informações relevantes dadas: a parte real e imaginária de são
e
respectivamente;
está em forma polar com módulo
e argumento
(unidade de
assumida em radianos). Vou usar a notação
para a unidade imaginária e as fórmulas padrão:
,
, e
.
(a) escrever
(b) escrever
(c) determinar
(d) escrever
(e) escrever
(f) escrever
(g) escrever
Informações relevantes dadas: a parte real e imaginária de
Passo 2
(a) Calcular módulo e argumento de
.
Fórmula do módulo:
Fórmula do módulo:
Fórmula do argumento (ângulo) usando arctan com atenção ao quadrante (real
, imag
⇒ 1º quadrante):
Valor numérico:
Portanto a forma polar é
.
Passo 3
(b) Converter
para a forma retangular usando a fórmula de Euler:
Para avaliar
e
reduzimos o ângulo módulo
:
Então
e
. Usando aproximações truncadas (ver passo numérico):
Multiplicando por
:
Passo 4
(c) Calcular
e
.
Recordando que :
Recordando que
Passo 5
(d) Somar
em forma retangular somando partes reais e imaginárias. Usando
e o
aproximado do passo 3:
Portanto
Passo 6
(e) Calcular
em polar: primeiro faço a diferença em retangular, depois converto para polar.
Diferença (retangular):
Módulo:
Calculando numericamente:
Argumento:
Portanto em forma polar:
Passo 7
(f) Calcular
na forma retangular. Método mais simples: usar forma polar para multiplicar (módulos multiplicam, argumentos somam) e depois converter para retangular.
De
e
segue
Reduzir o ângulo para conversão:
rad.
Agora converter:
Agora converter:
Avaliações numéricas:
Multiplicando por
:
(Verificação alternativa multiplicando retangularmente
dá resultados compatíveis.)
Passo 8
(g) Calcular
na forma polar — usar polar é direto: dividir módulos e subtrair argumentos.
Módulo:
Argumento:
Normalizo o ângulo somando
(duas rotações) para ficar num intervalo mais usual
:
Em graus isso é aproximadamente
. Portanto
Resposta
(a)
(ou
).
(b) .
(c)
(d) .
(e) (≈
).
(f) .
(g) (≈
).
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)