B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(f) 1 / 2^{j}
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número \displaystyle \frac{1}{2^{j}} na forma cartesiana (isto é, na forma a + j b).
Informações dadas: o número complexo está escrito com o expoente j, que aqui representa a unidade imaginária (j^{2}=-1). Não há outras informações na questão.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando temos uma potência de um número real positiva elevada a um número imaginário, usamos a relação entre potências reais e a função exponencial complexa. A fórmula que vamos usar é, para a>0,
a^{j} = e^{j \ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Essa relação vem da definição a = e^{\ln a}, então a^{j} = (e^{\ln a})^{j} = e^{j\ln a}. Aqui todas as operações com \ln são no sentido usual (logaritmo natural).
Passo 3
Outra fórmula fundamental (Euler) que precisamos entender e usar é
e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta,
onde \theta é um número real. Essa fórmula mostra que exponenciais puramente imaginárias correspondem a pontos no círculo unitário no plano complexo, com argumento \theta. Não vou provar a fundo aqui, mas pense que é o link entre exponencial complexa e funções trigonométricas.
Passo 4
Aplicando as duas fórmulas ao nosso caso com a=2: primeiro escrevemos
2^{j} = e^{j\ln 2}.
Pela fórmula de Euler, isso é
2^{j} = \cos(\ln 2) + j\sin(\ln 2).
Aqui \ln 2 é um número real (aproximadamente 0,693147\ldots), então tudo está bem definido.
Passo 5
Queremos \displaystyle \frac{1}{2^{j}}. Usamos que \displaystyle \frac{1}{2^{j}} = 2^{-j} = e^{-j\ln 2}. Aplicando Euler com \theta = -\ln 2 obtemos
\frac{1}{2^{j}} = \cos(-\ln 2) + j\sin(-\ln 2).
Como \cos é par e \sin é ímpar, isto simplifica para
\frac{1}{2^{j}} = \cos(\ln 2) - j\sin(\ln 2).
Observação útil (intuição): 2^{j} tem módulo 1 (pois |e^{j\theta}|=1), então a sua inversa é simplesmente o conjugado: (2^{j})^{-1}=\overline{2^{j}}, o que dá exatamente a mesma expressão \cos(\ln2)-j\sin(\ln2).
Passo 6
Se quiser uma aproximação numérica para facilitar visualização, calcule \ln 2\approx 0,693147\ldots, então