Demonstre que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas que vamos usar:
aproxima-se de
pela direita (ou seja, consideramos
próximos de
) e a função a ser estudada é
. Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados relevantes.
Passo 2
Observe o argumento dentro do seno. Para todo
temos
portanto, para
,
(Isto vale porque estamos tomando limite pela direita, onde
.)
Passo 3
Usando o passo anterior, para
a expressão se simplifica para
Então o limite que queremos calcular é o mesmo que
Passo 4
A função
é constante (é um número fixo, pois
é um número real). Logo podemos tratá-la como constante multiplicativa. Resta estudar
Vou justificar que
de forma elementar: dado
, escolha
. Se
então
Isso prova, por definição
-
, que
.
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade de limites que diz: se
e
é constante, então
. Aqui
,
e
. Assim
Passo 6
Resumo rápido e uma observação prática: como
vale
para
, a função é essencialmente
multiplicada por uma constante positiva; como
quando
, o produto tende a
. Se preferir ver por desigualdade, note que para
e como
quando
, pelo teorema do confronto o limite também é
.