Demonstre que \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} e^{\operatorname{sen}(x / x)}=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(x/x)}.
Informações dadas que vamos usar: x aproxima-se de 0 pela direita (ou seja, consideramos x>0 próximos de 0) e a função a ser estudada é \sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(x/x)}. Não vamos resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados relevantes.

Passo 2

Observe o argumento dentro do seno. Para todo x>0 temos
\frac{x}{x}=1,
portanto, para x>0,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{x}\right)=\operatorname{sen}(1).
(Isto vale porque estamos tomando limite pela direita, onde x\neq 0.)

Passo 3

Usando o passo anterior, para x>0 a expressão se simplifica para
\sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(x/x)}=\sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(1)}.
Então o limite que queremos calcular é o mesmo que
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(1)}.

Passo 4

A função x\mapsto e^{\operatorname{sen}(1)} é constante (é um número fixo, pois \operatorname{sen}(1) é um número real). Logo podemos tratá-la como constante multiplicativa. Resta estudar
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}.
Vou justificar que \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}=0 de forma elementar: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^{2}. Se 0<x<\delta então
|\sqrt{x}-0|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\sqrt{\varepsilon^{2}}=\varepsilon.
Isso prova, por definição \varepsilon- \delta, que \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}=0.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade de limites que diz: se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot L. Aqui f(x)=\sqrt{x}, L=0 e c=e^{\operatorname{sen}(1)}. Assim
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(1)} = e^{\operatorname{sen}(1)}\cdot \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x} = e^{\operatorname{sen}(1)}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Resumo rápido e uma observação prática: como \operatorname{sen}(x/x) vale \operatorname{sen}(1) para x>0, a função é essencialmente \sqrt{x} multiplicada por uma constante positiva; como \sqrt{x}\to 0 quando x\to 0^{+}, o produto tende a 0. Se preferir ver por desigualdade, note que para x>0
0\le \sqrt{x}\, e^{\operatorname{sen}(1)} \le \sqrt{x}\, e^{1},
e como \sqrt{x}\, e^{1}\to 0 quando x\to0^{+}, pelo teorema do confronto o limite também é 0.

Resposta

0

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