B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(d) e^{j \pi / 4}+2 e^{-j \pi / 4}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo abaixo na forma cartesiana (ou seja, na forma \,a + j b\,, onde \,a é a parte real e \,b é a parte imaginária):
e^{j \pi / 4} + 2 e^{-j \pi / 4}
Informações dadas: a expressão contém exponenciais complexas com argumento \pm \pi/4 e uma constante multiplicativa 2.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula essencial que nos permite passar de forma exponencial para a forma cartesiana: a fórmula de Euler.
e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)
Aqui \theta é um ângulo em radianos, \cos(\theta) é a parte real e \sin(\theta) é a parte imaginária multiplicada por j. Essa fórmula é válida para qualquer \theta.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler aos dois termos da expressão:
e^{j \pi / 4} = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) + j\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
e^{-j \pi / 4} = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) - j\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)
Obs.: usei que \cos(-\theta)=\cos(\theta) e \sin(-\theta)=-\sin(\theta).

Passo 4

Calculemos os valores de \cos e \sin para \theta=\tfrac{\pi}{4}. São valores muito comuns:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo esses valores nos termos do passo anterior:
e^{j \pi / 4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + j\frac{\sqrt{2}}{2}
e^{-j \pi / 4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 5

Agora multiplico o segundo termo por 2:
2 e^{-j \pi / 4} = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
Efetuando a multiplicação escalar:
2 e^{-j \pi / 4} = \sqrt{2} - j\sqrt{2}
(para ver: 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} e 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} com sinal -j).

Passo 6

Somamos os dois termos que agora estão em forma cartesiana:
e^{j \pi / 4} + 2 e^{-j \pi / 4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + j\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\sqrt{2} - j\sqrt{2}\right)
Agrupando as partes reais e imaginárias separadamente:
\text{parte real} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2},\qquad \text{parte imaginária} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}.á

Passo 7

Simplificamos as somas usando \sqrt{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} para somar frações com denominador comum:
\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Portanto a forma cartesiana fica:
\frac{3\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}

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