B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo abaixo na forma cartesiana (ou seja, na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária):
Informações dadas: a expressão contém exponenciais complexas com argumento
e uma constante multiplicativa
.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula essencial que nos permite passar de forma exponencial para a forma cartesiana: a fórmula de Euler.
Aqui
é um ângulo em radianos,
é a parte real e
é a parte imaginária multiplicada por
. Essa fórmula é válida para qualquer
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Euler aos dois termos da expressão:
Obs.: usei que
e
.
Passo 4
Calculemos os valores de
e
para
. São valores muito comuns:
Substituindo esses valores nos termos do passo anterior:
Passo 5
Agora multiplico o segundo termo por
:
Efetuando a multiplicação escalar:
(para ver:
e
com sinal
).
Passo 6
Somamos os dois termos que agora estão em forma cartesiana:
Agrupando as partes reais e imaginárias separadamente:
Passo 7
Simplificamos as somas usando
para somar frações com denominador comum:
Portanto a forma cartesiana fica: