(b) Dados f, g: U subset R^3 R campos escalares e, usando o item 6)a), mostre que se o potencial magnético A for dado por A=12(f nabla g-g nabla f), então o campo magnético B=nabla times A é dado por B=nabla f times nabla g.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas funções escalares f,g:UsubsetR^3toR, se definirmos o potencial magnético
A = tfrac12l(f,nabla g ;-; g,nabla fr),
então o campo magnético
B = nabla times A
é igual a
B = nabla f times nabla g
O conteúdo que vamos usar é a identidade vetorial para o rotacional de um produto escalar por um campo vetorial (item 6a):
nablatimesl(phi,Fr) = nablaphi times F ;+;phi,l(nablatimesFr),
além do fato de que nablatimes(nabla psi)=vec 0 para qualquer escalar psi.

Passo 2

Escrevemos B=nablatimesA usando a linearidade do rotacional:
B = nablatimesl[tfrac12l(f,nabla g - g,nabla fr)r] = tfrac12l(nablatimes(f,nabla g);-;nablatimes(g,nabla f)r)

Passo 3

Aplicamos a identidade nablatimes(phi,F)=nablaphitimesF+phi,nablatimesF a cada termo, lembrando que nablatimes(nabla g)=vec0 e nablatimes(nabla f)=vec0:
nablatimes(f,nabla g) = nabla f times nabla g e nablatimes(g,nabla f) = nabla g times nabla f

Passo 4

Observamos que nabla gtimesnabla f = -,(nabla ftimesnabla g). Substituindo no Passo 2:
B = tfrac12l(nabla ftimesnabla g ;-;(nabla gtimesnabla f)r) = tfrac12l(nabla ftimesnabla g + nabla ftimesnabla gr) = nabla ftimesnabla g

Resposta

B=nabla ftimesnabla g.

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