Dado F: U subset R^3 R^3 um campo vetorial de classe C^2, mostre que
nabla times(nabla times F)=nabla(nabla cdot F)-nabla^2 F
onde
F(r)=F(x, y, z)=F1(x, y, z) imath+F2(x, y, z) jmath+F3(x, y, z) k=(l F1(x, y, z) F2(x, y, z) F3(x, y, z) )
(aqui F1(x, y, z), F2(x, y, z) e F3(x, y, z) denotam campos escalares que são componentes do campo vetorial F(x, y, z)) e
nabla^2 F equiv(nabla^2 F1) imath+(nabla^2 F2) jmath+(nabla^2 F3) k

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade vetorial
nabla times(nabla times F) ;=;nabla(nabla cdot F) ;-;nabla^2F
para um campo vetorial Fcolon UsubsetR^3toR^3 de classe C^2. Vamos usar notação de índices com o símbolo de Levi-Civita e as propriedades das derivadas parciais que comutam, além da definição de laplaciano vetorial nabla^2vec F=(nabla^2F1,nabla^2F2,nabla^2F3).

Passo 2

Em notação de índices (índices vão de 1 a 3 e usamos a regra de Einstein para somas repetidas), a componente i-ésima do rotacional de vec F é
(nablatimesvec F)i = varepsiloni j k,partialjFk
Aqui varepsiloni j k é o símbolo de Levi-Civita e partialj=partial/partial xj.

Passo 3

Agora escrevemos a componente i-ésima de nablatimes(nablatimesvec F):
(nablatimes(nablatimesvec F))i =varepsiloniell m,partialelll[(nablatimesvec F)mr] =varepsiloniell m,partialelll[varepsilonm p q,partialpFqr]

Passo 4

Usamos a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita,
varepsiloniell m,varepsilonm p q =de<ai p,de<aell q-de<ai q,de<aell p,
e a comutação das derivadas parciais partialellpartialp=partialppartialell. Assim
(nablatimes(nablatimesvec F))i =(de<ai p,de<aell q-de<ai q,de<aell p) ,partialellpartialpFq =partialipartialqFq-partialellpartialell Fi

Passo 5

Reescrevendo cada termo de forma vetorial, o primeiro termo é a derivada parcial i-ésima de nablacdotvec F=partialqFq, ou seja,
partialipartialqFq=(nabla(nablacdotvec F))i,
e o segundo é exatamente nabla^2Fi. Logo
(nablatimes(nablatimesvec F))i =(nabla(nablacdotvec F))i-(nabla^2vec F)i,
para cada i=1,2,3.

Resposta

nabla times(nabla times F)=nabla(nabla cdot F)-nabla^2 F

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