Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno:
ux x=ut t, 0<x<pi, t>0,
u(0, t)=u(pi, t)=0, t >= 0,
ut(x, 0)=0,0 <= x <= pi,
u(x, 0)=|x-pi2|-pi2, 0 <= x <= pi.

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
utt=uxx, 0<x<pi,;t>0
com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(pi,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0, onde
f(x)=l|x-tfracpi2r|-tfracpi2
O método para resolver é expansão em séries de senos (autofunções de Dirichlet) e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes.

Passo 2

Como as condições de contorno são u(0,t)=u(pi,t)=0, procuramos solução da forma
u(x,t)=sumn=1^inftyAn(t)sin(nx)
Substituindo em utt=uxx vem
An''(t)+n^2An(t)=0,
cuja solução geral é An(t)=Bncos(nt)+Cnsin(nt). A condição ut(x,0)=0 implica An'(0)=0, logo Cn=0. E u(x,0)=f(x) An(0)=Bn, com
f(x)=sumn=1^infty Bnsin(nx)

Passo 3

Os coeficientes Bn são dados por
Bn=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx
Como
f(x)= -x, & 0<= x<= tfracpi2, x-pi, & tfracpi2<= x<= pi,
separamos
Bn=2pil(underbraceintegral0^pi/2(-x)sin(nx),dxI1 +underbraceintegralpi/2^pi(x-pi)sin(nx),dxI2r)

Passo 4

Calculamos por partes
integral xsin(nx),dx=-xcos(nx)n+sin(nx)n^2,
de onde
I1=l[xcos(nx)n-sin(nx)n^2r]0^pi/2 =pi2ncosl(npi2r)-1n^2sinl(npi2r),
I2=l[(pi-x)cos(nx)n+sin(nx)n^2r]pi/2^pi =-pi2ncosl(npi2r)-1n^2sinl(npi2r)
Somando I1+I2=-tfrac2n^2sinl(tfracnpi2r). Então
Bn=2pil(-2n^2sinl(tfracnpi2r)r) =-4pi n^2sinl(npi2r)

Passo 5

Como sinl(tfracnpi2r) vale zero para n par e (-1)^m para n=2m+1, obtemos só termos ímpares
B2m+1=-4pi(2m+1)^2(-1)^m =4(-1)^m+1pi(2m+1)^2

Passo 6

Finalmente a solução da onda é
u(x,t)=sumn=1^infty Bncos(nt)sin(nx) =summ=0^infty4(-1)^m+1pi(2m+1)^2cosl((2m+1)tr)sinl((2m+1)xr)

Resposta

u(x,t) =summ=0^infty4(-1)^m+1pi(2m+1)^2 cosl((2m+1)tr),sinl((2m+1)xr)

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