Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno:
,
,
,
.
Passo 1
O problema é a equação da onda unidimensional
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(pi,t)=0 e condições iniciais
u(x,0)=f(x) ,
ut(x,0)=0 , onde
O método para resolver é expansão em séries de senos (autofunções de Dirichlet) e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes.
Passo 2
Como as condições de contorno são
u(0,t)=u(pi,t)=0 , procuramos solução da forma
Substituindo em
utt=uxx vem
cuja solução geral é
An(t)=Bncos(nt)+Cnsin(nt) . A condição
ut(x,0)=0 implica
An'(0)=0 , logo
Cn=0 . E
u(x,0)=f(x) dá
An(0)=Bn , com
Passo 3
Os coeficientes
Bn são dados por
Como
separamos
Passo 4
Calculamos por partes
de onde
Somando
I1+I2=-tfrac2n^2sinl(tfracnpi2r) . Então
Passo 5
Como
sinl(tfracnpi2r) vale zero para
n par e
(-1)^m para
n=2m+1 , obtemos só termos ímpares
Passo 6
Finalmente a solução da onda é