(b) Demonstre que quaisquer duas matrizes não singulares n \times n são equivalentes linha.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Dados: duas matrizes quadradas n\times n quaisquer, digamos A e B, e ambas são não singulares (isto é, invertíveis).
  • Pedido: demonstrar que A e B são equivalentes linha — ou seja, que é possível transformar A em B por uma sequência de operações elementares sobre linhas (ou, equivalentemente, que existe uma matriz obtida como produto de matrizes elementares S tal que B = S A).

Passo 2

O que significa “não singular” e por que isso importa.
  • Definição: uma matriz M é não singular (invertível) se existe M^{-1} tal que M^{-1}M = I_n, onde I_n é a matriz identidade n\times n.
  • Consequência prática: uma matriz invertível tem posto ( \operatorname{rank}) igual a n. Isso garante que ao aplicar eliminação de Gauss (escolhendo pivôs adequadamente e fazendo trocas de linhas quando necessário) é possível encontrar pivôs em todas as n etapas e, portanto, reduzir a matriz até I_n usando apenas operações elementares de linha.
Vou usar essas ideias para construir a prova: mostrar que cada matriz invertível pode ser levada a I_n por operações de linha; daí concluir que quaisquer duas são equivalentes entre si.

Passo 3

O que são operações elementares de linha e matrizes elementares; relação entre elas.
  • As operações elementares de linha são exatamente três tipos:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Para cada operação elementar existe uma matriz elementar E tal que, ao multiplicá-la à esquerda por uma matriz M, obtém-se a matriz resultante da operação sobre as linhas de M: se M' é o resultado da operação aplicada a M, então M' = E M.
  • Exemplos concretos (para fixar a ideia):
    • Trocar a linha i com a linha j: existe E obtida permutando linhas de I_n de modo correspondente; então E M troca as linhas i e j de M.
    • Adicionar à linha i a linha j multiplicada por \lambda: existe E obtida a partir de I_n colocando \lambda no lugar (i,j); então E M executa essa adição.
  • Observação importante: toda matriz elementar é invertível, e sua inversa também é uma matriz elementar (por exemplo, a inversa de "somar \lambda vezes a linha j à linha i" é "somar -\lambda vezes a linha j à linha i").

Passo 4

Reduzindo uma matriz invertível a I_n com matrizes elementares.
  • Aplicando o algoritmo de eliminação de Gauss a uma matriz invertível A, usando operações elementares sobre linhas, é sempre possível reduzir A até a identidade I_n. A razão: \operatorname{rank}(A)=n garante existência de pivô não nulo em cada coluna necessária (eventualmente fazendo trocas de linha).
  • Cada operação de linha corresponde a multiplicar A à esquerda por alguma matriz elementar. Se fizer uma sequência finita de k operações que leva A em I_n, então existem matrizes elementares E_1,\dots,E_k tais que
    E_k\cdots E_2 E_1 A = I_n.
  • Denotando P := E_k\cdots E_1, obtemos P A = I_n. Note que P é invertível porque é produto de matrizes invertíveis (matrizes elementares).
  • De modo idêntico, para B existem matrizes elementares F_1,\dots,F_\ell tal que
    F_\ell\cdots F_1 B = I_n.
    Denotando Q := F_\ell\cdots F_1, temos Q B = I_n.

Passo 5

Concluir que A e B são equivalentes linha.
  • A partir de P A = I_n e Q B = I_n segue B = Q^{-1} I_n = Q^{-1} (P A) = (Q^{-1}P) A.
  • Agora P e Q são produtos de matrizes elementares; como a inversa de cada matriz elementar é também uma matriz elementar, Q^{-1} é produto de matrizes elementares. Portanto S := Q^{-1}P é produto de matrizes elementares.
  • Multiplicar A à esquerda por S corresponde a aplicar uma sequência de operações elementares de linha; como S A = B, vimos concretamente que existe uma sequência de operações elementares que transforma A em B.
  • Isso é exatamente a definição de “equivalentes linha”: existe uma sequência de operações elementares de linha levando A em B.

Passo 6

Resumo final e observação curta (estímulo amigável).
  • Resumindo em palavras de amigo: qualquer matriz invertível vira a identidade com operações de linha; se tanto A quanto B viram I_n, então dá para ir de A para B seguindo os passos que levam A a I_n e revertendo os que levam B a I_n. Logo, todas as matrizes não singulares estão na mesma classe de equivalência por linhas. Boa: isso significa que, na prova, quando ver duas matrizes invertíveis, já pode afirmar que são equivalentes linha — só precisa explicar exatamente a mesma ideia que fiz aqui.

Resposta

Existem matrizes elementares E_1,\dots,E_k e F_1,\dots,F_\ell tais que
E_k\cdots E_1 A = I_n\quad\text{e}\quad F_\ell\cdots F_1 B = I_n.
Logo
B = (F_\ell\cdots F_1)^{-1}(E_k\cdots E_1) A,
e como inverso e produto de matrizes elementares é produto de matrizes elementares, existe S produto de matrizes elementares com B = S A. Portanto A e B são equivalentes linha.

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