(b) Demonstre que quaisquer duas matrizes não singulares
são equivalentes linha.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Dados: duas matrizes quadradas
quaisquer, digamos e , e ambas são não singulares (isto é, invertíveis). - Pedido: demonstrar que
e são equivalentes linha — ou seja, que é possível transformar em por uma sequência de operações elementares sobre linhas (ou, equivalentemente, que existe uma matriz obtida como produto de matrizes elementares tal que ).
Passo 2
O que significa “não singular” e por que isso importa.
- Definição: uma matriz
é não singular (invertível) se existe tal que , onde é a matriz identidade . - Consequência prática: uma matriz invertível tem posto (
) igual a . Isso garante que ao aplicar eliminação de Gauss (escolhendo pivôs adequadamente e fazendo trocas de linhas quando necessário) é possível encontrar pivôs em todas as etapas e, portanto, reduzir a matriz até usando apenas operações elementares de linha.
Vou usar essas ideias para construir a prova: mostrar que cada matriz invertível pode ser levada a
por operações de linha; daí concluir que quaisquer duas são equivalentes entre si.
Passo 3
O que são operações elementares de linha e matrizes elementares; relação entre elas.
- As operações elementares de linha são exatamente três tipos:
- trocar duas linhas;
- multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
- adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
- Para cada operação elementar existe uma matriz elementar
tal que, ao multiplicá-la à esquerda por uma matriz , obtém-se a matriz resultante da operação sobre as linhas de : se é o resultado da operação aplicada a , então . - Exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Trocar a linha
com a linha : existe obtida permutando linhas de de modo correspondente; então troca as linhas e de . - Adicionar à linha
a linha multiplicada por : existe obtida a partir de colocando no lugar ; então executa essa adição.
- Trocar a linha
- Observação importante: toda matriz elementar é invertível, e sua inversa também é uma matriz elementar (por exemplo, a inversa de "somar
vezes a linha à linha " é "somar vezes a linha à linha ").
Passo 4
Reduzindo uma matriz invertível a
com matrizes elementares.
-
Aplicando o algoritmo de eliminação de Gauss a uma matriz invertível
, usando operações elementares sobre linhas, é sempre possível reduzir até a identidade . A razão: garante existência de pivô não nulo em cada coluna necessária (eventualmente fazendo trocas de linha). -
Cada operação de linha corresponde a multiplicar
à esquerda por alguma matriz elementar. Se fizer uma sequência finita de operações que leva em , então existem matrizes elementares tais que -
Denotando
, obtemos . Note que é invertível porque é produto de matrizes invertíveis (matrizes elementares). -
De modo idêntico, para
existem matrizes elementares tal que Denotando, temos .
Passo 5
Concluir que
e
são equivalentes linha.
- A partir de
e segue - Agora
e são produtos de matrizes elementares; como a inversa de cada matriz elementar é também uma matriz elementar, é produto de matrizes elementares. Portanto é produto de matrizes elementares. - Multiplicar
à esquerda por corresponde a aplicar uma sequência de operações elementares de linha; como , vimos concretamente que existe uma sequência de operações elementares que transforma em . - Isso é exatamente a definição de “equivalentes linha”: existe uma sequência de operações elementares de linha levando
em .
Passo 6
Resumo final e observação curta (estímulo amigável).
- Resumindo em palavras de amigo: qualquer matriz invertível vira a identidade com operações de linha; se tanto
quanto viram , então dá para ir de para seguindo os passos que levam a e revertendo os que levam a . Logo, todas as matrizes não singulares estão na mesma classe de equivalência por linhas. Boa: isso significa que, na prova, quando ver duas matrizes invertíveis, já pode afirmar que são equivalentes linha — só precisa explicar exatamente a mesma ideia que fiz aqui.
Resposta
Existem matrizes elementares
e
tais que
Logo
e como inverso e produto de matrizes elementares é produto de matrizes elementares, existe
produto de matrizes elementares com
. Portanto
e
são equivalentes linha.