Demonstre que
é equivalente linha de
se e somente se existe uma matriz não singular
tal que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (em linguagem bem clara).
- Estão dadas duas matrizes
e . Pressupõe-se que e tenham o mesmo número de colunas, isto é, (por exemplo ). - A afirmação a demonstrar é: "
é equivalente linha de se, e somente se, existe uma matriz não singular tal que ."
Informações relevantes (retiradas do enunciado ou necessárias para a resolução):
- Por “equivalente linha” entende-se que
pode ser obtida a partir de por uma sequência finita de operações elementares sobre linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra). - Por “matriz não singular” entende-se matriz invertível (com inversa).
Passo 2
Conceito chave: matrizes elementares e como elas atuam ao multiplicar pela esquerda.
-
Uma operação elementar sobre linhas tem uma matriz elementar associada: multiplicar uma matriz
pela esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar a operação elementar nas linhas de . Vou listar os três tipos de operações elementares e suas matrizes elementares correspondentes (sem perder a intuição): -
Trocar a linha
com a linha . A matriz elementar correspondente é a matriz permutação obtida a partir da matriz identidade trocando suas linhas e . Multiplicando resulta em com as linhas e trocadas. -
Multiplicar a linha
por um escalar . A matriz elementar é , obtida a partir da identidade substituindo o elemento por . Multiplicando obtém-se com a linha multiplicada por . -
Somar à linha
o escalar vezes a linha (com ). A matriz elementar pode ser escrita como , onde é a matriz com 1 na posição e zeros nos demais lugares. Multiplicando obtém-se com a operação “linha linha + c·linha ”.
-
-
Observações importantes sobre essas matrizes elementares:
- Cada matriz elementar é invertível. O inverso é também uma matriz elementar que realiza a operação inversa:
- O inverso de
é ele mesmo: . - O inverso de
é . - O inverso de
é .
- O inverso de
- Logo, toda matriz elementar é não singular.
- Cada matriz elementar é invertível. O inverso é também uma matriz elementar que realiza a operação inversa:
Passo 3
Direção "se
é equivalente linha de
então existe
não singular com
". Prova passo a passo.
- Por hipótese, existe uma sequência finita de operações elementares que transforma
em . Suponha que sejam operações, na ordem: . - A cada operação
corresponde uma matriz elementar tal que aplicar a uma matriz equivale a calcular . Em particular: - Após a primeira operação obtemos
. - Após a segunda obtemos
. - Continuando, após as
operações obtemos
- Após a primeira operação obtemos
- Defina agora
Então . - Como cada
é invertível, o produto também é invertível (produto de matrizes invertíveis é invertível). Portanto é não singular. - Conclusão desta direção: se
é obtida de por operações elementares (ou seja, é equivalente linha de ), então existe matriz não singular tal que .
Passo 4
Direção "se existe
não singular com
então
é equivalente linha de
". Prova passo a passo.
- Começamos com a hipótese de existência de
invertível tal que . - Fato-chave usado aqui (e que deve ser explicado para prova completa): qualquer matriz invertível
pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Explicação construtiva: - Aplicando eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) a
é possível reduzi-la à matriz identidade , porque é invertível. Isso significa que existem matrizes elementares tais que (Cada multiplicação por à esquerda corresponde a uma operação elementar sobre linhas que progride na eliminação; como é invertível, a eliminação chega a .) - A equação acima implica
Como cada é invertível e seu inverso é também uma matriz elementar, o inverso do produto é produto dos inversos, e, portanto, é produto de matrizes elementares. Ou seja, existem matrizes elementares tais que
- Aplicando eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) a
- Agora volte à relação
. Substituindo a decomposição de obtemos Isso significa exatamente que aplicando sucessivamente as operações elementares correspondentes a à matriz obtém-se . Portanto é obtida de por uma sequência de operações elementares sobre linhas — isto é, é equivalente linha de . - Conclusão desta direção: se existe
não singular com então é equivalente linha de .
Passo 5
Fechando a demonstração e comentários finais.
- Reunindo os dois passos, mostramos as duas implicações:
-
equivalente linha de existe não singular com . - existe
não singular com equivalente linha de .
-
- Logo, as duas propriedades são equivalentes:
é equivalente linha de se e somente se existe matriz não singular tal que .