Demonstre que B é equivalente linha de A se e somente se existe uma matriz não singular M tal que B=M A.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (em linguagem bem clara).
  • Estão dadas duas matrizes A e B. Pressupõe-se que A e B tenham o mesmo número de colunas, isto é, A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{F}) (por exemplo \mathbb{F}=\mathbb{R}).
  • A afirmação a demonstrar é: " B é equivalente linha de A se, e somente se, existe uma matriz não singular M tal que B = M A."
Informações relevantes (retiradas do enunciado ou necessárias para a resolução):
  • Por “equivalente linha” entende-se que B pode ser obtida a partir de A por uma sequência finita de operações elementares sobre linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra).
  • Por “matriz não singular” entende-se matriz invertível (com inversa).

Passo 2

Conceito chave: matrizes elementares e como elas atuam ao multiplicar pela esquerda.
  • Uma operação elementar sobre linhas tem uma matriz elementar associada: multiplicar uma matriz X pela esquerda por uma matriz elementar E corresponde a aplicar a operação elementar nas linhas de X. Vou listar os três tipos de operações elementares e suas matrizes elementares correspondentes (sem perder a intuição):
    1. Trocar a linha i com a linha j. A matriz elementar correspondente é a matriz permutação P_{ij} obtida a partir da matriz identidade trocando suas linhas i e j. Multiplicando P_{ij}X resulta em X com as linhas i e j trocadas.
    2. Multiplicar a linha i por um escalar c\neq 0. A matriz elementar é D_i\text{(c)}, obtida a partir da identidade substituindo o elemento (i,i) por c. Multiplicando D_i\text{(c)}X obtém-se X com a linha i multiplicada por c.
    3. Somar à linha i o escalar c vezes a linha j (com i\neq j). A matriz elementar pode ser escrita como I + cE_{ij}, onde E_{ij} é a matriz com 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares. Multiplicando (I+cE_{ij})X obtém-se X com a operação “linha _i \leftarrow linha _i + c·linha _j”.
  • Observações importantes sobre essas matrizes elementares:
    • Cada matriz elementar é invertível. O inverso é também uma matriz elementar que realiza a operação inversa:
      • O inverso de P_{ij} é ele mesmo: P_{ij}^{-1}=P_{ij}.
      • O inverso de D_i\text{(c)} é D_i(1/c).
      • O inverso de I+cE_{ij} é I-cE_{ij}.
    • Logo, toda matriz elementar é não singular.

Passo 3

Direção "se B é equivalente linha de A então existe M não singular com B=MA". Prova passo a passo.
  • Por hipótese, existe uma sequência finita de operações elementares que transforma A em B. Suponha que sejam k operações, na ordem: O_1,O_2,\dots,O_k.
  • A cada operação O_t corresponde uma matriz elementar E_t tal que aplicar O_t a uma matriz X equivale a calcular E_t X. Em particular:
    • Após a primeira operação obtemos A^{(1)} = E_1 A.
    • Após a segunda obtemos A^{(2)} = E_2 A^{(1)} = E_2 E_1 A.
    • Continuando, após as k operações obtemos B = A^{(k)} = E_k E_{k-1}\cdots E_1 A.
  • Defina agora M := E_k E_{k-1}\cdots E_1.Então B = M A.
  • Como cada E_t é invertível, o produto M também é invertível (produto de matrizes invertíveis é invertível). Portanto M é não singular.
  • Conclusão desta direção: se B é obtida de A por operações elementares (ou seja, é equivalente linha de A), então existe matriz não singular M tal que B=MA.

Passo 4

Direção "se existe M não singular com B=MA então B é equivalente linha de A". Prova passo a passo.
  • Começamos com a hipótese de existência de M\in M_{m\times m}(\mathbb{F}) invertível tal que B = M A.
  • Fato-chave usado aqui (e que deve ser explicado para prova completa): qualquer matriz invertível M pode ser escrita como produto de matrizes elementares. Explicação construtiva:
    • Aplicando eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) a M é possível reduzi-la à matriz identidade I, porque M é invertível. Isso significa que existem matrizes elementares F_1,\dots,F_r tais que F_r F_{r-1}\cdots F_1\, M = I.(Cada multiplicação por F_t à esquerda corresponde a uma operação elementar sobre linhas que progride na eliminação; como M é invertível, a eliminação chega a I.)
    • A equação acima implica M = (F_r F_{r-1}\cdots F_1)^{-1}.Como cada F_t é invertível e seu inverso é também uma matriz elementar, o inverso do produto é produto dos inversos, e, portanto, M é produto de matrizes elementares. Ou seja, existem matrizes elementares E_1,\dots,E_s tais que M = E_s E_{s-1}\cdots E_1.
  • Agora volte à relação B = M A. Substituindo a decomposição de M obtemos B = (E_s E_{s-1}\cdots E_1) A.Isso significa exatamente que aplicando sucessivamente as operações elementares correspondentes a E_1,E_2,\dots,E_s à matriz A obtém-se B. Portanto B é obtida de A por uma sequência de operações elementares sobre linhas — isto é, B é equivalente linha de A.
  • Conclusão desta direção: se existe M não singular com B=MA então B é equivalente linha de A.

Passo 5

Fechando a demonstração e comentários finais.
  • Reunindo os dois passos, mostramos as duas implicações:
    • B equivalente linha de A \Rightarrow existe M não singular com B=MA.
    • existe M não singular com B=MA \Rightarrow B equivalente linha de A.
  • Logo, as duas propriedades são equivalentes: B é equivalente linha de A se e somente se existe matriz não singular M tal que B=MA.

Resposta

B é equivalente linha de A se, e somente se, existe uma matriz não singular M tal que B = M A.

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