É possível para uma matriz singular B ser equivalente linha de uma matriz não singular A ? Explique.

Passo 1

O que o enunciado pergunta e as hipóteses que vamos usar:\n
  • Pergunta: É possível que uma matriz singular B seja equivalente por linhas (row-equivalent) de uma matriz não singular A?\n
  • Hipóteses necessárias para falar de equivalência por linhas: A e B têm o mesmo número de linhas. Como o enunciado fala em matriz não singular (inversível), assumimos que A e B são quadradas de ordem n, isto é, A,B\in\mathbb{K}^{n\times n}.\n
  • Informação dada: A é não singular (inversível) e B é singular (não inversível).\n
  • Objetivo: decidir se é possível que B seja obtida a partir de A por operações elementares de linha (ou seja, se A e B podem ser equivalentes por linhas).

Passo 2

Definição e propriedades básicas que vamos usar (explicadas passo a passo):\n
  • Operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha a outra. Essas operações transformam uma matriz em outra.\n
  • Equivalência por linhas: dizemos que B é equivalente por linhas a A se existe uma sequência de operações elementares de linha que transforma A em B. Uma forma matricial disto é: existe uma matriz elementar (ou produto de matrizes elementares) E tal que
B = E A.
  • Matriz elementar e invertibilidade: cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar E. Essas matrizes elementares são invertíveis (a operação inversa também é elementar). Logo, um produto de matrizes elementares é invertível. Em suma, se B é obtida de A por operações de linha, existe uma matriz invertível E com
B = E A,
e E^{-1} corresponde às operações inversas.

Passo 3

Conseqüência importante: a multiplicação à esquerda por uma matriz invertível preserva o posto (rank).\n
  • Definição de posto: o posto \mathrm{rank}(M) de uma matriz M é a dimensão do espaço gerado por suas linhas (ou colunas). É um número inteiro entre 0 e n para uma matriz n\times n.\n
  • Por que \mathrm{rank}(E A)=\mathrm{rank}(A) quando E é invertível? Intuição e argumento simples:\n
    • A multiplicação à esquerda por E aplica uma transformação linear invertível às linhas de A. Transformações lineares inversíveis preservam independência linear e independência gerações: uma família de vetores é linearmente independente depois da aplicação de um isomorfismo linear se e somente se era independente antes; da mesma forma, o espaço gerado tem a mesma dimensão.\n
    • Formalmente, se B=E A com E invertível então a aplicação linear dada por x\mapsto E x é bijetora em \mathbb{K}^n, logo a imagem (espaço gerado pelas linhas) tem mesma dimensão. Assim
\mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(E A)=\mathrm{rank}(A).

Passo 4

Aplicando isso ao caso das matrizes quadradas e à singularidade/inversibilidade:\n
  • Para uma matriz quadrada M\in\mathbb{K}^{n\times n}, M é inversível (não singular) se e somente se \mathrm{rank}(M)=n. Da mesma forma, M é singular se e somente se \mathrm{rank}(M)<n.\n
  • Se A é não singular então \mathrm{rank}(A)=n. Se B fosse equivalente por linhas a A, existiria E invertível com B=E A, e pelo passo anterior \mathrm{rank}(B)=\mathrm{rank}(A)=n. Portanto B teria posto n e seria não singular. Isso contradiz a hipótese de que B é singular.

Passo 5

Argumento alternativo (pela multiplicação de determinantes) — outra forma de ver a mesma preservação, útil para intuir no caso quadrado:\n
  • Para matrizes quadradas, cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar o determinante por um número não nulo (trocar linhas muda sinal, multiplicar uma linha por k\neq0 multiplica \det por k, somar múltiplo de linha não altera \det). Logo, o produto das matrizes elementares E tem \det(E)\neq0.\n
  • Se B=E A com \det(E)\neq0, então
\det(B)=\det(E)\det(A).
Se \det(A)\neq0 (A inversível) então \det(B)\neq0. Logo B também seria inversível. Novamente contradição com B singular.

Passo 6

Conclusão e observação final:\n
  • Portanto, não é possível que uma matriz singular B seja equivalente por linhas a uma matriz não singular A. A equivalência por linhas preserva posto (e, no caso quadrado, preserva o fato de ser inversível), de modo que duas matrizes row-equivalentes são ambas invertíveis ou ambas singulares.\n
  • Moral prática para a prova: se duas matrizes são row-equivalentes, elas têm o mesmo posto; por isso nunca se pode obter uma matriz singular a partir de uma inversível só com operações de linha (nem o contrário).

Resposta

Não. Equivalência por linhas preserva o posto; se A é não singular então \mathrm{rank}(A)=n, e qualquer B row-equivalente a A teria \mathrm{rank}(B)=n, portanto seria também não singular — contradição.

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