É possível para uma matriz singular
ser equivalente linha de uma matriz não singular
? Explique.
Passo 1
O que o enunciado pergunta e as hipóteses que vamos usar:\n
- Pergunta: É possível que uma matriz singular
seja equivalente por linhas (row-equivalent) de uma matriz não singular ?\n - Hipóteses necessárias para falar de equivalência por linhas:
e têm o mesmo número de linhas. Como o enunciado fala em matriz não singular (inversível), assumimos que e são quadradas de ordem , isto é, .\n - Informação dada:
é não singular (inversível) e é singular (não inversível).\n - Objetivo: decidir se é possível que
seja obtida a partir de por operações elementares de linha (ou seja, se e podem ser equivalentes por linhas).
Passo 2
Definição e propriedades básicas que vamos usar (explicadas passo a passo):\n
- Operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha a outra. Essas operações transformam uma matriz em outra.\n
- Equivalência por linhas: dizemos que
é equivalente por linhas a se existe uma sequência de operações elementares de linha que transforma em . Uma forma matricial disto é: existe uma matriz elementar (ou produto de matrizes elementares) tal que
- Matriz elementar e invertibilidade: cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar
. Essas matrizes elementares são invertíveis (a operação inversa também é elementar). Logo, um produto de matrizes elementares é invertível. Em suma, se é obtida de por operações de linha, existe uma matriz invertível com
e
corresponde às operações inversas.
Passo 3
Conseqüência importante: a multiplicação à esquerda por uma matriz invertível preserva o posto (rank).\n
- Definição de posto: o posto
de uma matriz é a dimensão do espaço gerado por suas linhas (ou colunas). É um número inteiro entre e para uma matriz .\n - Por que
quando é invertível? Intuição e argumento simples:\n - A multiplicação à esquerda por
aplica uma transformação linear invertível às linhas de . Transformações lineares inversíveis preservam independência linear e independência gerações: uma família de vetores é linearmente independente depois da aplicação de um isomorfismo linear se e somente se era independente antes; da mesma forma, o espaço gerado tem a mesma dimensão.\n - Formalmente, se
com invertível então a aplicação linear dada por é bijetora em , logo a imagem (espaço gerado pelas linhas) tem mesma dimensão. Assim
- A multiplicação à esquerda por
Passo 4
Aplicando isso ao caso das matrizes quadradas e à singularidade/inversibilidade:\n
- Para uma matriz quadrada
, é inversível (não singular) se e somente se . Da mesma forma, é singular se e somente se .\n - Se
é não singular então . Se fosse equivalente por linhas a , existiria invertível com , e pelo passo anterior . Portanto teria posto e seria não singular. Isso contradiz a hipótese de que é singular.
Passo 5
Argumento alternativo (pela multiplicação de determinantes) — outra forma de ver a mesma preservação, útil para intuir no caso quadrado:\n
- Para matrizes quadradas, cada operação elementar de linha corresponde a multiplicar o determinante por um número não nulo (trocar linhas muda sinal, multiplicar uma linha por
multiplica por , somar múltiplo de linha não altera ). Logo, o produto das matrizes elementares tem .\n - Se
com , então
Se
(A inversível) então
. Logo
também seria inversível. Novamente contradição com
singular.
Passo 6
Conclusão e observação final:\n
- Portanto, não é possível que uma matriz singular
seja equivalente por linhas a uma matriz não singular . A equivalência por linhas preserva posto (e, no caso quadrado, preserva o fato de ser inversível), de modo que duas matrizes row-equivalentes são ambas invertíveis ou ambas singulares.\n - Moral prática para a prova: se duas matrizes são row-equivalentes, elas têm o mesmo posto; por isso nunca se pode obter uma matriz singular a partir de uma inversível só com operações de linha (nem o contrário).
Resposta
Não. Equivalência por linhas preserva o posto; se
é não singular então
, e qualquer
row-equivalente a
teria
, portanto seria também não singular — contradição.