Mostre que se A é uma matriz simétrica não singular, então A^{-1} é também simétrica.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A que é simétrica e não singular, e pede para mostrar que a inversa A^{-1} também é simétrica.
Informações dadas:
  • A é simétrica, isto é A^{T}=A.
  • A é não singular, isto é A é invertível e existe A^{-1} tal que A A^{-1}=I (onde I é a matriz identidade).
O que se deve provar:
  • Mostrar que A^{-1} é simétrica, isto é provar que (A^{-1})^{T}=A^{-1}.

Passo 2

Relembrando propriedades e conceitos que vou usar (com explicação simples):
  • Transposta: para qualquer matriz M, a transposta M^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas.
  • Produto e transposta: para quaisquer matrizes compatíveis X e Y vale a identidade
(XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Isso vem direto da definição de transposta: o elemento (i,j) de (XY)^{T} é o elemento (j,i) de XY, e ao escrever a soma de produtos aparece a ordem invertida.
  • Transposta da identidade: I^{T}=I, porque a identidade tem 1 na diagonal e zeros fora dela e isso não muda ao transpor.
  • Unicidade da inversa: se A é inversível, a inversa A^{-1} é única. Em particular, se B satisfaz B A = I ou A B = I, então B=A^{-1}.
Vou usar essas propriedades passo a passo para provar o que se pede.

Passo 3

Começo da prova a partir da igualdade que define a inversa:
A A^{-1}=I.
Agora aplico a transposição em ambos os lados dessa igualdade. Como a transposição é uma operação definida para matrizes, posso transpor cada lado:
\bigl(A A^{-1}\bigr)^{T}=I^{T}.

Passo 4

Uso a propriedade do produto sob transposição para reescrever o lado esquerdo:
\bigl(A A^{-1}\bigr)^{T}=(A^{-1})^{T}A^{T}.
E uso que I^{T}=I. Portanto obtém-se
(A^{-1})^{T}A^{T}=I.

Passo 5

Agora uso que A é simétrica, isto é A^{T}=A. Substituindo isso na igualdade anterior:
(A^{-1})^{T}A=I.
Essa igualdade diz que (A^{-1})^{T} é uma inversa à direita de A. Como A é inversível, a inversa é única, então a inversa à direita coincide com a inversa à esquerda e com A^{-1} próprio. Para tornar isso completamente explícito, multiplico a igualdade por A^{-1} à direita:
(A^{-1})^{T}A\,A^{-1}=A^{-1}.
Mas A\,A^{-1}=I, então
(A^{-1})^{T}I=A^{-1},
isto é
(A^{-1})^{T}=A^{-1}.

Passo 6

Chegamos exatamente à condição de simetria para A^{-1}: a transposta de A^{-1} é igual a A^{-1} itself. Logo A^{-1} é simétrica.
Observação curta e útil: uma outra forma equivalente é usar a identidade geral (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}. Se A^{T}=A, então (A^{-1})^{T}=(A)^{-1}=A^{-1}, mesma conclusão.

Resposta

(A^{-1})^{T}=A^{-1}

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