Mostre que se
é uma matriz simétrica não singular, então
é também simétrica.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
que é simétrica e não singular, e pede para mostrar que a inversa
também é simétrica.
Informações dadas:
-
é simétrica, isto é . -
é não singular, isto é é invertível e existe tal que (onde é a matriz identidade).
O que se deve provar:
- Mostrar que
é simétrica, isto é provar que .
Passo 2
Relembrando propriedades e conceitos que vou usar (com explicação simples):
- Transposta: para qualquer matriz
, a transposta é a matriz obtida trocando linhas por colunas. - Produto e transposta: para quaisquer matrizes compatíveis
e vale a identidade
Isso vem direto da definição de transposta: o elemento
de
é o elemento
de
, e ao escrever a soma de produtos aparece a ordem invertida.
- Transposta da identidade:
, porque a identidade tem 1 na diagonal e zeros fora dela e isso não muda ao transpor. - Unicidade da inversa: se
é inversível, a inversa é única. Em particular, se satisfaz ou , então .
Vou usar essas propriedades passo a passo para provar o que se pede.
Passo 3
Começo da prova a partir da igualdade que define a inversa:
Agora aplico a transposição em ambos os lados dessa igualdade. Como a transposição é uma operação definida para matrizes, posso transpor cada lado:
Passo 4
Uso a propriedade do produto sob transposição para reescrever o lado esquerdo:
E uso que
. Portanto obtém-se
Passo 5
Agora uso que
é simétrica, isto é
. Substituindo isso na igualdade anterior:
Essa igualdade diz que
é uma inversa à direita de
. Como
é inversível, a inversa é única, então a inversa à direita coincide com a inversa à esquerda e com
próprio. Para tornar isso completamente explícito, multiplico a igualdade por
à direita:
Mas
, então
isto é
Passo 6
Chegamos exatamente à condição de simetria para
: a transposta de
é igual a
itself. Logo
é simétrica.
Observação curta e útil: uma outra forma equivalente é usar a identidade geral
. Se
, então
, mesma conclusão.