Se A=(2,-1,1) e B=(3,-4,-4) determinar um ponto C no 3 -espaço tal que A, B e C sejam vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A = (2,-1,1)
e
B = (3,-4,-4)
e pede um ponto C de modo que o triângulo ABC seja retângulo. O conteúdo aqui é produto escalar no espaço e a condição de perpendicularidade: dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Para garantir que o ângulo em A seja reto, basta exigir
(C - A)\cdot (B - A) = 0.
Calculamos primeiro
B - A = (3,-4,-4) - (2,-1,1) = (1,-3,-5).
Então se escrever C - A = (x,y,z), a condição de perpendicularidade vira
(x,y,z)\cdot(1,-3,-5) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 3y - 5z = 0.

Passo 3

Agora escolhemos uma solução inteira simples de
x - 3y - 5z = 0.
Por exemplo, tomando y=1 e z=0, temos
x - 3\cdot1 -5\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.
Logo um vetor que satisfaz é
(x,y,z) = (3,1,0).

Passo 4

Como C = A + (x,y,z), obtemos
C = (2,-1,1) + (3,1,0) = (5,0,1).
Para checar, note que
C - A = (3,1,0), \quad B - A = (1,-3,-5),
e
(3,1,0)\cdot(1,-3,-5) = 3 - 3 + 0 = 0,
confirmando que \angle A é reto.

Resposta

Uma possibilidade é
C = (5,0,1),
pois neste caso \triangle ABC tem ângulo reto em A.

Exercícios relacionados