Determinar todos os vectores de V_{2} que são ortogonais a A e têm o mesmo comprimento que A se:
A=(-2,1).

Passo 1

O enunciado dá o vetor
A = (-2,\,1)
no espaço euclidiano V_{2} com o produto interno canônico. Precisamos achar todos os vetores v=(x,y) tais que
  1. v é ortogonal a A, ou seja, A\cdot v=0.
  2. \lVert v\rVert = \lVert A\rVert.

Passo 2

A condição de ortogonalidade A\cdot v=0
(-2)\,x + 1\cdot y = 0,
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y = 2x.

Passo 3

O comprimento de A é
\lVert A\rVert = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}.
Impor \lVert v\rVert = \sqrt{5} equivale a
x^2 + y^2 = 5.

Passo 4

Substituindo y=2x em x^2+y^2=5, obtemos
x^2 + (2x)^2 = 5
5x^2 = 5
x^2 = 1
x = \pm 1.
Então y = 2x y = \pm 2.

Passo 5

Os vetores procurados são
(1,\,2)\quad\text{e}\quad(-1,\,-2).

Resposta

Os vetores em V_{2} ortogonais a A e de mesmo comprimento são
(1,\,2)\quad\text{e}\quad(-1,\,-2).

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