Se A=(2,1,-1) e B=(1,-1,2) determinar um vector não nulo C de V_{3} tal que A \cdot C=B \cdot C=0.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
A = (2,1,-1)
e
B = (1,-1,2)
em V_3 e pede um vetor não nulo C tal que
A\cdot C = 0 \quad\text{e}\quad B\cdot C = 0.
O conteúdo principal aqui é encontrar um vetor ortogonal a dois vetores em \mathbb{R}^3, o que nos lembra da operação de produto vetorial.

Passo 2

Em \mathbb{R}^3, o produto vetorial A\times B gera um vetor ortogonal tanto a A quanto a B. Logo, basta escolher
C = A \times B.

Passo 3

Vamos calcular
C = A \times B = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}.
Isso dá, componente a componente,
C_x = \det\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 -(-1)\cdot(-1)=2-1=1,
C_y = -\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =-(2\cdot2 -(-1)\cdot1)=-(4+1)=-5,
C_z = \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =2\cdot(-1) -1\cdot1=-2-1=-3.
Portanto
C = (1,-5,-3),
que é claramente não nulo e satisfaz \,A\cdot C = 0 e \,B\cdot C = 0.

Resposta

C = (1,-5,-3)
(ou qualquer múltiplo escalar não nulo desse vetor).

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