Dizer se é ou não correta a seguinte proposição relativa a vectores de V_{n}: \operatorname{Se} A \cdot B=0 para cada B, então A=O.

Passo 1

O enunciado afirma que em V_{n} (espaço euclidiano de dimensão n com o produto escalar usual) temos um vetor A tal que
A\cdot B = 0
para todo vetor B\in V_{n}. A pergunta é se disso segue necessariamente que A é o vetor nulo. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de positividade do produto escalar, que diz que
A\cdot A > 0
sempre que A\neq O.

Passo 2

Como a hipótese vale para todo B, podemos escolher especificamente B = A. Substituindo B por A na condição dada, obtemos
A\cdot A = 0.

Passo 3

Pela positividade do produto escalar, sabemos que
A\cdot A > 0
sempre que A\neq O. Como aqui o resultado é zero, a única possibilidade compatível é que A = O.

Resposta

A proposição é correta.

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