Dizer se é ou não correta a seguinte proposição relativa a vectores de
para cada
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma que em
(espaço euclidiano de dimensão
com o produto escalar usual) temos um vetor
tal que
para todo vetor
. A pergunta é se disso segue necessariamente que
é o vetor nulo. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de positividade do produto escalar, que diz que
sempre que
.
Passo 2
Como a hipótese vale para todo
, podemos escolher especificamente
. Substituindo
por
na condição dada, obtemos
Passo 3
Pela positividade do produto escalar, sabemos que
sempre que
. Como aqui o resultado é zero, a única possibilidade compatível é que
.
Resposta
A proposição é correta.