Se A=(1,-2,3) e B=(3,1,2), determinar escalares x e y tais que C=x A+y B é um vector não nulo \operatorname{com} C \cdot B=0.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
A=(1,-2,3),\quad B=(3,1,2)
e pede escalares x e y tais que o vetor
C = xA + yB
seja não nulo e satisfaça
C\cdot B = 0.
O conteúdo usado aqui é produto escalar de vetores e condição de ortogonalidade.

Passo 2

Escrevemos a condição C\cdot B=0 em termos de x e y:
C\cdot B = (xA + yB)\cdot B = x\,(A\cdot B) + y\,(B\cdot B) = 0.

Passo 3

Calculamos os produtos escalares necessários:
A\cdot B = 1\cdot3 + (-2)\cdot1 + 3\cdot2 = 3 - 2 + 6 = 7,
B\cdot B = 3^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14.

Passo 4

Substituindo em x\,(A\cdot B) + y\,(B\cdot B)=0 obtemos
7x + 14y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2y.
Assim todo par (x,y) com x=-2y satisfaz a ortogonalidade. Para garantir C\neq 0, basta escolher y\neq 0.

Passo 5

Por exemplo, fixando y=1 obtemos x=-2. Então
C = -2A + 1\cdot B = -2(1,-2,3) + (3,1,2) = (1,5,-4),
que é não nulo e satisfaz (1,5,-4)\cdot(3,1,2)=0.

Resposta

Uma família de soluções é
x = -2y,\quad y\neq 0.
Por exemplo, x=-2 e y=1.

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