(b) Determine.
27. Se
e
são dois números naturais, obtenha o período da função
.
27. Se
Passo 1
A questão pede para encontrar o período da função f(x)=cos(mx)+sen(nx), ou seja, de duas funções trigonométricas somadas. O conteúdo aqui é de funções periódicas e vamos precisar saber o período de cada termo separadamente.
Passo 2
O período da função cos(mx) é dado por:
e o período da função sen(nx) é dado por:
Passo 3
Para que a soma de duas funções periódicas, com períodos T_1 e T_2, seja periódica, precisamos que T_1/T_2 seja um número racional. Aqui
que é racional (m e n são naturais). Nesse caso, o período fundamental da soma é o mínimo comum múltiplo (mmc) de T_1 e T_2.
Passo 4
Para calcular o mmc de T_1 e T_2, note que podemos escrever m=e·p e n=e·q, onde e=gcd(m,n) e p,q são primos entre si. Assim:
O mmc de T_1 e T_2 é então
Passo 5
Portanto, o período fundamental de f(x)=cos(mx)+sen(nx) é 2π dividido pelo maior divisor comum de m e n.
Resposta
O período é
.