(b) Determine.
27. Se m e n são dois números naturais, obtenha o período da função cos (m x)+sen(n x).

Passo 1

A questão pede para encontrar o período da função f(x)=cos(mx)+sen(nx), ou seja, de duas funções trigonométricas somadas. O conteúdo aqui é de funções periódicas e vamos precisar saber o período de cada termo separadamente.

Passo 2

O período da função cos(mx) é dado por:
T1=2pim
e o período da função sen(nx) é dado por:
T2=2pin

Passo 3

Para que a soma de duas funções periódicas, com períodos T_1 e T_2, seja periódica, precisamos que T_1/T_2 seja um número racional. Aqui
T1T2=2pi/m2pi/n=nm,
que é racional (m e n são naturais). Nesse caso, o período fundamental da soma é o mínimo comum múltiplo (mmc) de T_1 e T_2.

Passo 4

Para calcular o mmc de T_1 e T_2, note que podemos escrever m=e·p e n=e·q, onde e=gcd(m,n) e p,q são primos entre si. Assim:
T1=2pie,p, T2=2pie,q
O mmc de T_1 e T_2 é então
mmcl(T1,T2r)=2pie

Passo 5

Portanto, o período fundamental de f(x)=cos(mx)+sen(nx) é 2π dividido pelo maior divisor comum de m e n.

Resposta

O período é 2pigcd(m,n).

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