Nos problemas 1-4, encontre uma solução formal para o problema da corda vibratória regida pelo problema de valores de fronteira e inicial dado.
l 1 partial^2 upartial t^2=partial^2 upartial x^2, 00 u(0, t)=u(1, t)=0, t>0 u(x, 0)=x(1-x), 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da corda vibratória utt=uxx em 00, com condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=x(1-x), ut(x,0)=sin(7pi x). Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier seno.

Passo 2

Procuramos soluções da forma u(x,t)=sumn=1^infty Tn(t),Xn(x). Substituindo na equação e dividindo por TnXn Tn''/Tn = Xn''/Xn = -lambda. As condições Xn(0)=Xn(1)=0 levam aos autovalores lambdan=(npi)^2 e autovetores Xn(x)=sin(npi x).

Passo 3

Para cada n, a parte temporal satisfaz Tn''+(npi)^2Tn=0. A solução geral é Tn(t)=Ancos(npi t)+Bnsin(npi t).

Passo 4

Portanto a solução geral da corda é a série de Fourier:
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(npi t)+Bnsin(npi t)r],sin(npi x)

Passo 5

Impondo u(x,0)=x(1-x) temos
x(1-x)=sumn=1^infty Ansin(npi x)
Pelo teorema de Fourier seno,
An=2integral0^1 x(1-x)sin(npi x),dx

Passo 6

Impondo ut(x,0)=sin(7pi x) notamos que
ut(x,0)=sumn=1^infty Bn(npi)sin(npi x)=sin(7pi x)
Como as funções seno formam base ortonormal,
Bn(npi)=2integral0^1sin(7pi x)sin(npi x),dx
mas
integral0^1sin(mpi x)sin(npi x),dx=tfrac12de
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Bn=dfrac17pi,&n=7,0,&nneq7

Resposta

u(x,t)=sumn=1^inftyl[l(2integral0^1 x(1-x)sin(npi x),dxr)cos(npi t)+Bnsin(npi t)r],sin(npi x),
com
Bn=17pi,&n=7,0,&nneq7

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