Nos problemas 1-4, encontre uma solução formal para o problema da corda vibratória regida pelo problema de valores de fronteira e inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da corda vibratória
em
, com condições de contorno
e condições iniciais
,
. Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier seno.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação e dividindo por
dá
. As condições
levam aos autovalores
e autovetores
.
Passo 3
Para cada
, a parte temporal satisfaz
. A solução geral é
.
Passo 4
Portanto a solução geral da corda é a série de Fourier:
Passo 5
Impondo
temos
Pelo teorema de Fourier seno,
Passo 6
Impondo
notamos que
Como as funções seno formam base ortonormal,
mas
Logo
Resposta
com