Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a v(t)=t^2 e^-t metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá após 20 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre movimento retilíneo de uma partícula que tem uma velocidade dada pela fórmula $ v(t) = t^{2} e^{-t} $ metros por segundo, onde $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual a distância que essa partícula percorre após 20 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar a distância total percorrida a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade $ v(t) $ nos dá quão rápido a partícula está se movendo em cada instante de tempo $ t $. Para encontrar a distância total percorrida em um intervalo de tempo, a gente integra a função de velocidade nesse intervalo.

Passo 3

A fórmula para encontrar a distância $ S $ percorrida é:
S
Aqui, $ a $ é o tempo inicial e $ b $ é o tempo final. No nosso caso, queremos a distância de $ t = 0 $ até $ t = 20 $ segundos.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
S = integral0^20 t^2 e^-t , dt
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver a integral $ \int t^{2} e^{-t} , dt $, vamos usar o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como $ t^{2} $ e $ e^{-t} $.
A fórmula da integração por partes é:
integral t^2 e^-t , dt

Passo 6

Vamos definir:
u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral t^2 e^-t , dt = -t^2 e^-t + integral 2t e^-t , dt
Agora, precisamos resolver a segunda integral $ \int 2t e^{-t} , dt $.

Passo 8

Novamente, usamos integração por partes para $ \int 2t e^{-t} , dt $. Definimos:
integral 2t e^-t , dt
u = 2t Rightarrow du = 2 , dt

Passo 9

Aplicando a fórmula novamente:
integral 2t e^-t , dt = -2t e^-t + integral 2 e^-t , dt
A última integral é simples:
integral 2 e^-t , dt = -2 e^-t + C

Passo 10

Voltando às etapas anteriores, substituímos:
integral t^2 e^-t , dt = -t^2 e^-t -2t e^-t -2 e^-t + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 20 segundos.

Passo 11

Calculando a distância:
S = [ -t^2 e^-t -2t e^-t -2 e^-t ]0^20
Primeiro, avaliamos em $ t = 20 $:
t = 20
Agora, em $ t = 0 $:
-20^2 e^-20 -2 cdot 20 e^-20 -2 e^-20 = -400 e^-20 -40 e^-20 -2 e^-20 = -442 e^-20

Passo 12

Subtraindo os valores:
S = (-442 e^-20) - (-2) = -442 e^-20 + 2
Como $ e^{-20} $ é um número muito pequeno (praticamente zero), podemos aproximar:
e^-20

Resposta

A distância que a partícula percorre após 20 segundos é aproximadamente 2 metros.

Exercícios relacionados