Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem velocidade igual a
metros por segundo após
segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá após 20 segundos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre movimento retilíneo de uma partícula que tem uma velocidade dada pela fórmula $ v(t) = t^{2} e^{-t} $ metros por segundo, onde $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual a distância que essa partícula percorre após 20 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar a distância total percorrida a partir da velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a velocidade $ v(t) $ nos dá quão rápido a partícula está se movendo em cada instante de tempo $ t $. Para encontrar a distância total percorrida em um intervalo de tempo, a gente integra a função de velocidade nesse intervalo.
Passo 3
A fórmula para encontrar a distância $ S $ percorrida é:
Aqui, $ a $ é o tempo inicial e $ b $ é o tempo final. No nosso caso, queremos a distância de $ t = 0 $ até $ t = 20 $ segundos.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver a integral $ \int t^{2} e^{-t} , dt $, vamos usar o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como $ t^{2} $ e $ e^{-t} $.
A fórmula da integração por partes é:
Passo 6
Vamos definir:
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver a segunda integral $ \int 2t e^{-t} , dt $.
Passo 8
Novamente, usamos integração por partes para $ \int 2t e^{-t} , dt $. Definimos:
Passo 9
Aplicando a fórmula novamente:
A última integral é simples:
Passo 10
Voltando às etapas anteriores, substituímos:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 20 segundos.
Passo 11
Calculando a distância:
Primeiro, avaliamos em $ t = 20 $:
Agora, em $ t = 0 $:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Como $ e^{-20} $ é um número muito pequeno (praticamente zero), podemos aproximar:
Resposta
A distância que a partícula percorre após 20 segundos é aproximadamente 2 metros.