(b) Determine a derivada da função y=2^tg(2 x^2+5).

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de y = 2^tan(2x^2+5). O conteúdo envolve a derivada de uma função exponencial de base a genérica e a regra da cadeia para composições internas como tan(cdot) e 2x^2 + 5.

Passo 2

Primeiro vamos identificar as funções internas para aplicar bem a regra da cadeia. Definimos u(x)=tan(2x^2+5) e dentro de u temos v(x)=2x^2+5. Assim, daremos dois passos de cadeia: vmapsto u e umapsto y.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x)=tan(v(x)). Sabemos que ddv[tan(v)] = sec^2(v) e v'(x)=ddx(2x^2+5)=4x. Logo,
u'(x)=sec^2l(2x^2+5r)cdot 4x

Passo 4

Por fim, derivamos y=2^u(x) usando ddx[a^u(x)] = a^u(x)ln(a),u'(x) com a=2. Substituindo u(x) e u'(x), encontramos a derivada de y.

Resposta

y'=2^tan(2x^2+5)cdotln(2)cdot4x,sec^2l(2x^2+5r)

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