(a) Considere a funcã
. Determine o valor de
de tal sorte que tenhamos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos descobrir o valor de
de forma que a derivada dessa função em
seja igual a
. Vamos precisar de conceitos de derivadas e de logaritmos, especialmente a derivada de logaritmos com base diferente de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função logarítmica com base
. A fórmula para a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Derivando
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da derivada:
Passo 5
Queremos que
. Vamos calcular
:
Passo 6
Igualamos
a
:
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Para encontrar
, fazemos a operação inversa da função logarítmica, que é a exponenciação:
Resposta
O valor de
que satisfaz
é
.