(a) Considere a funcã f(x)=log a(3 x^2-2). Determine o valor de a de tal sorte que tenhamos f^prime(1)=3 gamma

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos descobrir o valor de de forma que a derivada dessa função em seja igual a . Vamos precisar de conceitos de derivadas e de logaritmos, especialmente a derivada de logaritmos com base diferente de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função logarítmica com base f'(x) = u'u cdot ln(a) . A fórmula para a derivada de em relação a é:
Aqui, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular u' = ddx(3x^2 - 2) = 6x . Derivando :

Passo 4

Agora, substituímos f'(x) = 6x(3x^2 - 2) cdot ln(a) e na fórmula da derivada:

Passo 5

Queremos que f'(1) = 6 cdot 1(3 cdot 1^2 - 2) cdot ln(a) = 6(3 - 2) cdot ln(a) = 6ln(a) . Vamos calcular :

Passo 6

Igualamos 6ln(a) = 3gamma a ln(a) = 63gamma = 2gamma :
Agora, resolvemos para :

Passo 7

Para encontrar a = e^2gamma , fazemos a operação inversa da função logarítmica, que é a exponenciação:

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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