Nome:
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função f: R^2 R dada por
f(x, y)= (x^2+y^2) sen 1raizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) f é contínua na origem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua na origem f(x, y) . Estamos lidando com o tema de continuidade de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando (0,0) se aproxima de (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
(x, y)
No nosso caso, queremos que:
(a, b)

Passo 3

Vamos calcular o limite lim(x, y) to (0, 0) f(x, y). A função é dada por:
f(x, y) = (x^2+y^2) sin (1raizx^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Observando que |sin(z)| <= 1 para qualquer z, temos:
|f(x, y)| = |x^2+y^2| cdot |sin (1raizx^2+y^2)| <= x^2 + y^2
Como (x, y) se aproxima de (0,0), x^2 + y^2 tende a 0. Portanto, pelo teorema do sanduíche, se |f(x, y)| <= x^2 + y^2 e x^2 + y^2 to 0, então:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0

Passo 4

Agora, comparamos o limite que encontramos com o valor da função na origem:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0 = f(0, 0)
Como os dois são iguais, concluímos que a função é contínua na origem.

Resposta

Sim, a função $ f $ é contínua na origem.

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