Nome:
Questão 1 (2,5 pontos)
Considere a função dada por
(a) é contínua na origem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua na origem . Estamos lidando com o tema de continuidade de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto se o limite de $ f(x, y) $ quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite . A função é dada por:
Observando que para qualquer , temos:
Como (x, y) se aproxima de (0,0), x^2 + y^2 tende a 0. Portanto, pelo teorema do sanduíche, se |f(x, y)| <= x^2 + y^2 e x^2 + y^2 to 0, então:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0
Passo 4
Agora, comparamos o limite que encontramos com o valor da função na origem:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0 = f(0, 0)
Como os dois são iguais, concluímos que a função é contínua na origem.