b)
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ z = 2(x-1)^{2} + 3(y+3)^{2} - 3 $ no ponto $ (2, -2, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto $ (2, -2, 2) $ realmente pertence à superfície. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = -2 $ na equação da superfície:
Então, o ponto está na superfície. Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto dado.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Agora, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (2, -2) $:
Passo 5
Agora, usamos a equação do plano tangente, que é dada por:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto de tangência, que no nosso caso é $ (2, -2, 2) $.
Passo 6
Substituindo os valores encontrados:
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto $ (2, -2, 2) $ é: