b) (1,0) Determine a equação do plano tangente à superfície z=2(x-1)^2+3(y+3)^2-3 no ponto (2,-2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ z = 2(x-1)^{2} + 3(y+3)^{2} - 3 $ no ponto $ (2, -2, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto $ (2, -2, 2) $ realmente pertence à superfície. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = -2 $ na equação da superfície:
(2, -2, 2)
Então, o ponto está na superfície. Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ no ponto dado.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
z
Agora, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
x

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (2, -2) $:
(2, -2)
partial zpartial x |(2,-2) = 4(2-1) = 4 times 1 = 4

Passo 5

Agora, usamos a equação do plano tangente, que é dada por:
z = z0 + partial zpartial x |(x0,y0) (x - x0) + partial zpartial y |(x0,y0) (y - y0)
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto de tangência, que no nosso caso é $ (2, -2, 2) $.

Passo 6

Substituindo os valores encontrados:
z = 2 + 4(x - 2) + 6(y + 2)
Vamos simplificar a expressão:
z = 2 + 4x - 8 + 6y + 12
z = 4x + 6y + 6

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto $ (2, -2, 2) $ é:
(2, -2, 2)

Exercícios relacionados