Seja sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2.
d) Calcule integral sinh 5 xcosh ^3 5 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sinh 5xcosh^3 5x , dx. Aqui, estamos trabalhando com funções hiperbólicas, especificamente seno hiperbólico ( sinh) e cosseno hiperbólico ( cosh). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de substituição, que ajudam a simplificar expressões complexas tornando-as mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sinh x e cosh x têm uma relação útil. Observando a integral, notamos que o numerador é sinh 5x e o denominador é cosh^3 5x. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde a função cosh 5x é nossa nova variável, já que a derivada de cosh 5x envolve sinh 5x.

Passo 3

Vamos definir:
u = cosh 5x
Assim, precisamos encontrar $ du $ em termos de $ dx $:
du
dx
Isso significa que:
dudx = 5 sinh 5x
Agora, substituímos essas expressões na integral original:
du = 5 sinh 5x , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar $ u^{-3} $:
u^-3
Multiplicando pelo fator integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C :
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Passo 5

Por último, substituímos $ u $ de volta para u :
cosh 5x

Resposta

A integral integral sinh 5xcosh^3 5x , dx é igual a:
-110 cosh^2 5x + C

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