Para as funções hiperbólicas inversas:
c) Determine a forma de coth^-1 x. Determine também sua derivada com u(x) sendo seu argumento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre funções hiperbólicas inversas! A gente precisa descobrir como fica a expressão da função coth^-1 x e também encontrar a derivada dela quando o argumento é uma função u(x). Para isso, vamos usar o conhecimento sobre funções hiperbólicas inversas e regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma da função inversa da coth, ou seja, coth^-1 x. A função hiperbólica inversa da cotangente hiperbólica pode ser expressa usando logaritmos naturais. A fórmula é:
coth^-1 x = 12 ln(x + 1x - 1)
Essa expressão nos mostra como a função coth^-1 x é construída a partir de logaritmos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de coth^-1 u(x). Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Primeiro, vamos derivar coth^-1 x em relação a x:
ddx coth^-1 x = 11 - x^2
Agora, aplicando a regra da cadeia para coth^-1 u(x):
ddx coth^-1 u(x) = 11 - [u(x)]^2 cdot u'(x)

Resposta

A derivada de coth^-1 u(x) é:
ddx coth^-1 u(x) = u'(x)1 - [u(x)]^2

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