Para as funções hiperbólicas inversas:
a) Expresse, em termos de logaritmo natural,o valor de sinh ^-1 2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para expressar, em termos de logaritmo natural, o valor de sinh^-1 2. Esse exercício está relacionado com as funções hiperbólicas inversas, especificamente com a função seno hiperbólico inverso. Para resolver, vamos precisar entender como essa função é definida e como relacioná-la ao logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico inverso, sinh^-1 x. Ela é a função que responde: “Para qual valor de y, sinh(y) = x?” A definição de sinh(y) é:
sinh(y) = e^y - e^-y2
Mas para encontrar a expressão inversa, usamos a fórmula:
sinh^-1(x) = ln(x + raizx^2 + 1)
Essa fórmula nos permite expressar sinh^-1 x em termos de logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar sinh^-1 2. Substituindo x por 2 na expressão:
sinh^-1(2) = ln(2 + raiz2^2 + 1)
Vamos calcular dentro da raiz quadrada:
2^2 + 1 = 4 + 1 = 5
Então, a expressão fica:
sinh^-1(2) = ln(2 + raiz5)

Resposta

Portanto, em termos de logaritmo natural, o valor de sinh^-1 2 é:
sinh^-1(2) = ln(2 + raiz5)

Exercícios relacionados