b. Determine a imagem da função
,
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a imagem de uma função afim em \numa variável complexa; o conteúdo é imagem de um conjunto via transformação linear+translação em ℂ. Vamos usar que A é o semiplano
Re(z)≥1 e que f(z)=2z+i.
Re(z)≥1 e que f(z)=2z+i.
Passo 2
Representamos z em coordenadas reais: z=x+iy com x≥1 e y∈ℝ.
Passo 3
Aplicamos f:
Passo 4
Identificamos parte real e imaginária de w=f(z):
Como x≥1 temos Re(w)=2x≥2 e y varia livremente, logo Im(w) percorre todo ℝ.
Passo 5
Portanto a imagem f(A) é o semiplano dos w com parte real maior ou igual a 2.