b. Determine a imagem da função lf: A C f(z)=2 z+i, A=z in C mid Re(z) >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para achar a imagem de uma função afim em \numa variável complexa; o conteúdo é imagem de um conjunto via transformação linear+translação em ℂ. Vamos usar que A é o semiplano
Re(z)≥1 e que f(z)=2z+i.

Passo 2

Representamos z em coordenadas reais: z=x+iy com x≥1 e y∈ℝ.

Passo 3

Aplicamos f:
f(z)=2z+i=2(x+iy)+i=2x+i(2y+1)

Passo 4

Identificamos parte real e imaginária de w=f(z):
Re(w)=2x, Im(w)=2y+1
Como x≥1 temos Re(w)=2x≥2 e y varia livremente, logo Im(w) percorre todo ℝ.

Passo 5

Portanto a imagem f(A) é o semiplano dos w com parte real maior ou igual a 2.

Resposta

f(A)=winCmidRe(w)>=2

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