(b) Encontre a serie de Fourier por no intervalo , usando a forma complexa da serie:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Fourier da função no intervalo usando a forma complexa da série de Fourier. Isso envolve conceitos de séries de Fourier e integrais complexas. Vamos precisar usar as fórmulas da série complexa e calcular os coeficientes através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como o intervalo é de a , o período é , já que .
Passo 3
A forma geral da série de Fourier complexa é:
onde representa a função exponencial complexa.
Passo 4
Os coeficientes são calculados pela fórmula:
No nosso caso, , então a fórmula fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, os coeficientes ficam:
Passo 6
Para resolver a integral, vamos usar integração por partes. Seja:
⇒
⇒
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Substituindo cn = 14 [ x cdot 2-pi i n exp(-pi i n x2) g|-2^2 - integral-2^2 2-pi i n exp(-pi i n x2) dx ] , , :
Passo 8
Calculando os limites da primeira parte:
x cdot exp(-pi i n x2) g|-2^2 = 2 exp(-pi i n) - (-2) exp(pi i n)
Sabendo que 2 (-1)^n - (-2) (-1)^n = 2 (-1)^n + 2 (-1)^n = 4 (-1)^n e , temos:
Passo 9
Agora, calculando a segunda parte da integração:
integral-2^2 exp(-pi i n x2) dx = 2-pi i n [ exp(-pi i n x2) ]-2^2 = 2-pi i n [ (-1)^n - (-1)^n ] = 0
Então, a segunda parte desaparece.
Passo 10
Substituindo tudo de volta na expressão de cn = 14 [ 2-pi i n cdot 4 (-1)^n ] = 14 cdot 8 (-1)^n-pi i n = -2 (-1)^npi i n = 2 (-1)^n+1pi i n :
Resposta
A série de Fourier de F(x) = sumn=-infty^infty 2 (-1)^n+1pi i n exp(2pi i n x4) = sumn=-infty^infty (-1)^n+12pi i n exp(pi i n x2) no intervalo na forma complexa é: