• (b) Encontre a serie de Fourier por F(x)=x no intervalo -2, usando a forma complexa da serie:
f(x)=sum-infty^infty cn exp (2 pi i n xT)
e
cn=integral-T / 2^T / 2 f(x) exp (-2 pi i n xT) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Fourier da função no intervalo usando a forma complexa da série de Fourier. Isso envolve conceitos de séries de Fourier e integrais complexas. Vamos precisar usar as fórmulas da série complexa e calcular os coeficientes através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como o intervalo é de a , o período é , já que .

Passo 3

A forma geral da série de Fourier complexa é:
f(x) = sumn=-infty^infty cn exp(2pi i n xT)
onde representa a função exponencial complexa.

Passo 4

Os coeficientes cn = 1T integral-T/2^T/2 f(x) exp(-2pi i n xT) dx são calculados pela fórmula:
cn = 14 integral-2^2 x exp(-2pi i n x4) dx
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
exp(-2pi i n x4) = exp(-pi i n x2)
Então, os coeficientes ficam:
cn = 14 integral-2^2 x exp(-pi i n x2) dx

Passo 6

Para resolver a integral, vamos usar integração por partes. Seja:

Passo 7

Aplicando a integração por partes:
cn = 14 [ u v g|-2^2 - integral-2^2 v du ]
Substituindo cn = 14 [ x cdot 2-pi i n exp(-pi i n x2) g|-2^2 - integral-2^2 2-pi i n exp(-pi i n x2) dx ] , , :

Passo 8

Calculando os limites da primeira parte:
x cdot exp(-pi i n x2) g|-2^2 = 2 exp(-pi i n) - (-2) exp(pi i n)
Sabendo que 2 (-1)^n - (-2) (-1)^n = 2 (-1)^n + 2 (-1)^n = 4 (-1)^n e , temos:

Passo 9

Agora, calculando a segunda parte da integração:
integral-2^2 exp(-pi i n x2) dx = 2-pi i n [ exp(-pi i n x2) ]-2^2 = 2-pi i n [ (-1)^n - (-1)^n ] = 0
Então, a segunda parte desaparece.

Passo 10

Substituindo tudo de volta na expressão de cn = 14 [ 2-pi i n cdot 4 (-1)^n ] = 14 cdot 8 (-1)^n-pi i n = -2 (-1)^npi i n = 2 (-1)^n+1pi i n :

Resposta

A série de Fourier de F(x) = sumn=-infty^infty 2 (-1)^n+1pi i n exp(2pi i n x4) = sumn=-infty^infty (-1)^n+12pi i n exp(pi i n x2) no intervalo na forma complexa é:

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