Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por:
E a curva é o triângulo formado pelos vértices , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como aplicá-lo em um campo vetorial e uma superfície definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Basicamente, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície que tem como contorno. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Onde:
é o rotacional de .
é o vetor normal à superfície .
é o elemento de área da superfície.
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos:
Encontrar o rotacional de .
Definir uma superfície cujo contorno é a curva .
Calcular a integral de superfície do rotacional de sobre .
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional de . A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
Componente :
Componente :
Componente :
Portanto, o rotacional de é:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície cujo contorno é a curva . Como é um triângulo com vértices , e , podemos escolher como a própria superfície triangular definida por esses três pontos.
Para parametrizar a superfície, vamos usar dois parâmetros, digamos e , tais que qualquer ponto na superfície pode ser escrito como uma combinação linear dos vértices.
No entanto, para simplificar, podemos encontrar uma equação que descreva o plano onde está o triângulo . Vamos encontrar a equação do plano passando por esses três pontos.
Vamos considerar os pontos , e . Para encontrar a equação do plano, podemos usar o método de determinantes ou calcular dois vetores no plano e encontrar o produto vetorial.
Com o vetor normal n = 2i + 2j + k, precisamos normalizar para obter n unitário para a integral de superfície. No entanto, como vamos calcular o produto escalar com o rotacional, podemos manter o vetor normal não unitário e ajustar no cálculo da integral.
Agora, a área da superfície S é a área do triângulo com vértices A, B e C. A área de um triângulo dado por três pontos pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores que formam os lados. Já temos os vetores AB e AC:
AB = (-1, 1, 0) AC = (-1, 0, 2)
A área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial desses vetores: