(2,5) Use o teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r em que
F(x, y, z)=(41 y+arcsin x) i+e^y^2 j+(1 x+ln (z^2+4)) k
C é o triángulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial F é dado por:
F(x, y, z)=(41 y+arcsin x) i+e^y^2 j+(x+ln (z^2+4)) k
E a curva C é o triângulo formado pelos vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,2). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e como aplicá-lo em um campo vetorial e uma superfície definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Basicamente, ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície S que tem C como contorno. A fórmula do Teorema de Stokes é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • nabla times F é o rotacional de F.
  • n é o vetor normal à superfície S.
  • dS é o elemento de área da superfície.
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos:
  1. Encontrar o rotacional de F.
  2. Definir uma superfície S cujo contorno é a curva C.
  3. Calcular a integral de superfície do rotacional de F sobre S.

Passo 3

Vamos começar calculando o rotacional de F. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos identificar as componentes de F:
Fx = 41 y + arcsin x Fy = e^y^2 Fz = x + ln(z^2 + 4)
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. Componente i:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partialpartial y(x + ln(z^2 + 4)) - partialpartial z(e^y^2) = 0 - 0 = 0
  1. Componente j:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partialpartial z(41 y + arcsin x) - partialpartial x(x + ln(z^2 + 4)) = 0 - (1 + 0) = -1
  1. Componente k:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partialpartial x(e^y^2) - partialpartial y(41 y + arcsin x) = 0 - 41 = -41
Portanto, o rotacional de F é:
nabla times F = 0 i -1 j -41 k = -j -41 k

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cujo contorno é a curva C. Como C é um triângulo com vértices (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,2), podemos escolher S como a própria superfície triangular definida por esses três pontos.
Para parametrizar a superfície, vamos usar dois parâmetros, digamos u e v, tais que qualquer ponto na superfície pode ser escrito como uma combinação linear dos vértices.
No entanto, para simplificar, podemos encontrar uma equação que descreva o plano onde está o triângulo C. Vamos encontrar a equação do plano passando por esses três pontos.
Vamos considerar os pontos A(1,0,0), B(0,1,0) e C(0,0,2). Para encontrar a equação do plano, podemos usar o método de determinantes ou calcular dois vetores no plano e encontrar o produto vetorial.
Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (-1, 1, 0) AC = C - A = (-1, 0, 2)
O vetor normal ao plano é o rotacional entre AB e AC:
n = AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 = (1*2 - 0*0)i - (-1*2 - 0*(-1))j + (-1*0 - (-1)*1)k = 2i + 2j + 1k
Então, a equação do plano é:
2(x - 1) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0 2x - 2 + 2y + z = 0 2x + 2y + z = 2

Passo 5

Com o vetor normal n = 2i + 2j + k, precisamos normalizar para obter n unitário para a integral de superfície. No entanto, como vamos calcular o produto escalar com o rotacional, podemos manter o vetor normal não unitário e ajustar no cálculo da integral.
Agora, a área da superfície S é a área do triângulo com vértices A, B e C. A área de um triângulo dado por três pontos pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores que formam os lados. Já temos os vetores AB e AC:
AB = (-1, 1, 0) AC = (-1, 0, 2)
A área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial desses vetores:
Área = 12 |AB times AC| = 12 |(2, 2, 1)| = 12 raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = 12 raiz4 + 4 + 1 = 12 raiz9 = 32 Á
No entanto, para a integral de superfície, precisamos calcular:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Já temos nabla times F = -j -41 k e n = 2i + 2j + k. Vamos calcular o produto escalar:
(nabla times F) cdot n = (-j -41 k) cdot (2i + 2j + k) = (-1)(2)(j cdot i) + (-1)(2)(j cdot j) + (-41)(2)(k cdot i) + (-41)(2)(k cdot j) + (-41)(1)(k cdot k)
Sabendo que i cdot i = 1, e i cdot j = i cdot k = j cdot k = 0, o resultado simplifica para:
(nabla times F) cdot n = (-1)(2)(0) + (-1)(2)(1) + (-41)(2)(0) + (-41)(2)(0) + (-41)(1)(1) = -2 -41 = -43

Passo 6

Agora, podemos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = (-43) times Área do triângulo = -43 times 32 = -1292 Áâ
Portanto, pela aplicação do Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = -1292

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale -dfrac1292.

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