(Recomendado) Em que condições de y1, y2, y3, os pontos (0, y1),(1, y2),(2, y3) se localizam em uma linha reta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando em que condições os três pontos (0, y1), (1, y2) e (2, y3) ficam alinhados, ou seja, estão todos na mesma reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a ideia de que três pontos estão na mesma linha se a inclinação entre eles for constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inclinação (ou coeficiente angular) entre dois pontos. A fórmula é:
m = y2 - y1x2 - x1
Aqui, m representa a inclinação da reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2).

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para calcular a inclinação entre o primeiro ponto (0, y1) e o segundo ponto (1, y2):
m12 = y2 - y11 - 0 = y2 - y1

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação entre o segundo ponto (1, y2) e o terceiro ponto (2, y3):
m23 = y3 - y22 - 1 = y3 - y2

Passo 5

Para que os três pontos estejam na mesma reta, as inclinações m12 e m23 devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões:
y2 - y1 = y3 - y2

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar a condição necessária:
y2 - y1 = y3 - y2 2y2 = y1 + y3 y2 = y1 + y32

Resposta

Os três pontos (0, y1), (1, y2) e (2, y3) estão alinhados se y2 for a média de y1 e y3, ou seja:
y2 = y1 + y32

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