Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial V.
V=(M2 times 2,+, , R) W=A in M2 times 2 ; det A=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes com números reais, e é o conjunto dessas matrizes que têm determinante igual a zero ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero (tudo igual a zero) deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes qualquer em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer matriz em e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero:
0 = 0 & 0 0 & 0
O determinante dessa matriz é:
det(0) = 0 times 0 - 0 times 0 = 0
Então, a matriz zero está em . Primeira condição satisfeita!

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos ver se a soma de duas matrizes com determinante zero também tem determinante zero. Seja A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1 e det(A) = 1 times 0 - 0 times 0 = 0 duas matrizes em det(B) = 0 times 1 - 0 times 0 = 0 , ou seja, A + B = 1 & 0 0 & 1 e det(A + B) = 1 times 1 - 0 times 0 = 1 neq 0 .
Calcular o determinante de não é tão simples, mas sabemos que, em geral, não é igual a .
Por exemplo, vamos considerar:
Ambas têm determinante zero:
Mas:
E:
Então, a soma de e não está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que a segunda condição já não tenha sido satisfeita, vamos verificar essa também. Seja det(cA) = c^2 det(A) uma matriz em det(cA) = c^2 times 0 = 0 e um número real qualquer. Queremos ver se também está em .
O determinante de é:
Como , então:
Então, também está em .

Resposta

Embora o conjunto contenha a matriz zero e seja fechado sob multiplicação por escalar, ele não é fechado sob adição. Ou seja, a soma de duas matrizes em pode não estar em . Portanto, não é um subespaço vetorial de .

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