Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é subespaço vetorial
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes
com números reais, e
é o conjunto dessas matrizes que têm determinante igual a zero (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele precisa ter.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: A matriz zero (tudo igual a zero) deve estar em
. - Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes qualquer em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer matriz em
e multiplicar por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero:
O determinante dessa matriz é:
Então, a matriz zero está em
. Primeira condição satisfeita!
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos ver se a soma de duas matrizes com determinante zero também tem determinante zero. Seja
e
duas matrizes em
, ou seja,
e
.
Calcular o determinante de
não é tão simples, mas sabemos que, em geral,
não é igual a
.
Por exemplo, vamos considerar:
Ambas têm determinante zero:
Mas:
E:
Então, a soma de
e
não está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que a segunda condição já não tenha sido satisfeita, vamos verificar essa também. Seja
uma matriz em
e
um número real qualquer. Queremos ver se
também está em
.
O determinante de
é:
Como
, então:
Então,
também está em
.
Resposta
Embora o conjunto
contenha a matriz zero e seja fechado sob multiplicação por escalar, ele não é fechado sob adição. Ou seja, a soma de duas matrizes em
pode não estar em
. Portanto,
não é um subespaço vetorial de
.