Passo 1
O que o problema pede: calcular a soma da série infinita
.
Informações fornecidas:
- A soma é sobre
. - Cada termo da série é a diferença
. - Não há outras restrições; a expressão
está bem definida para todo .
Passo 2
Definir a soma parcial e escrever os primeiros termos para ver o padrão.
Defina a soma parcial de ordem
:
Escrevendo os primeiros termos de
(pegando os termos da própria soma):
Passo 3
Observar o cancelamento telescópico.
Na soma acima nota-se que muitos termos se cancelam em cadeia:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Após todos os cancelamentos internos sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto,
Passo 4
Tomar o limite das somas parciais quando
para obter a soma da série.
A soma da série, se convergir, é
. Usando a expressão encontrada:
Como
e a função exponential é contínua, tem-se
Logo a soma da série é
.
Passo 5
Comentários didáticos e verificação rápida.
- Tipo de série: é uma série telescópica, ou seja, soma de termos que cancelam entre si formando uma cadeia; esse é um padrão muito útil em provas porque permite escrever a soma parcial de forma fechada.
- Justificativa da convergência: os termos são positivos (pois
), as somas parciais são crescentes e, pela fórmula , são bounded acima por ; portanto converge para esse limite. - Checagem numérica rápida:
, então , coerente com uma soma finita.