1. \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{1 / n}-e^{1 /(n+1)}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular a soma da série infinita \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{1 / n}-e^{1 /(n+1)}\right).
Informações fornecidas:
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
  • Cada termo da série é a diferença \left(e^{1/n}-e^{1/(n+1)}\right).
  • Não há outras restrições; a expressão e^{1/n} está bem definida para todo n\ge 1.

Passo 2

Definir a soma parcial e escrever os primeiros termos para ver o padrão.
Defina a soma parcial de ordem N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(e^{1/n}-e^{1/(n+1)}\right).
Escrevendo os primeiros termos de S_N (pegando os termos da própria soma):
S_N=(e^{1}-e^{1/2})+(e^{1/2}-e^{1/3})+(e^{1/3}-e^{1/4})+\cdots+(e^{1/N}-e^{1/(N+1)}).

Passo 3

Observar o cancelamento telescópico.
Na soma acima nota-se que muitos termos se cancelam em cadeia: -e^{1/2} cancela com +e^{1/2}, -e^{1/3} cancela com +e^{1/3}, e assim por diante. Após todos os cancelamentos internos sobra apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto,
S_N=e^{1}-e^{1/(N+1)}.

Passo 4

Tomar o limite das somas parciais quando N\to\infty para obter a soma da série.
A soma da série, se convergir, é \displaystyle \lim_{N\to\infty} S_N. Usando a expressão encontrada:
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(e^{1}-e^{1/(N+1)}\right)=e^{1}-\lim_{N\to\infty}e^{1/(N+1)}.
Como \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=0 e a função exponential é contínua, tem-se
\lim_{N\to\infty}e^{1/(N+1)}=e^{0}=1.
Logo a soma da série é e-1.

Passo 5

Comentários didáticos e verificação rápida.
  • Tipo de série: é uma série telescópica, ou seja, soma de termos que cancelam entre si formando uma cadeia; esse é um padrão muito útil em provas porque permite escrever a soma parcial de forma fechada.
  • Justificativa da convergência: os termos são positivos (pois e^{1/n}>e^{1/(n+1)}), as somas parciais S_N são crescentes e, pela fórmula S_N=e-e^{1/(N+1)}, são bounded acima por e-1; portanto converge para esse limite.
  • Checagem numérica rápida: e\approx 2{,}7182818, então e-1\approx 1{,}7182818, coerente com uma soma finita.

Resposta

e-1

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