(b) Se
tem ordem 8 e
não possui elementos de ordem 4, prove
é abeliano. (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um grupo finito de ordem 8 sem elementos de ordem 4 é necessariamente abeliano. O conteúdo principal envolve o Teorema de Lagrange (possíveis ordens de elementos) e a noção de expoente de um grupo.
Passo 2
Pelo Teorema de Lagrange, se
tem ordem 8 então todo elemento
satisfaz
divisor de 8, ou seja,
. Como não há elementos de ordem 4 nem de ordem 8, somente podem ocorrer
ou
. Da conclusão anterior segue que para todo
temos
. Em outras palavras, todo elemento é seu próprio inverso, ou seja, o expoente de
é 2.
Passo 3
Agora, tome quaisquer
. Como
também é elemento de
, vale
. Então
Passo 4
portanto
para todos
, o que mostra que
é abeliano.
Resposta
G é abeliano.