(b) Se G tem ordem 8 e G não possui elementos de ordem 4, prove G é abeliano. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um grupo finito de ordem 8 sem elementos de ordem 4 é necessariamente abeliano. O conteúdo principal envolve o Teorema de Lagrange (possíveis ordens de elementos) e a noção de expoente de um grupo.

Passo 2

Pelo Teorema de Lagrange, se G tem ordem 8 então todo elemento gin G satisfaz o(g) divisor de 8, ou seja, o(g)in1,2,4,8. Como não há elementos de ordem 4 nem de ordem 8, somente podem ocorrer o(g)=1 ou o(g)=2. Da conclusão anterior segue que para todo gin G temos g^2=e. Em outras palavras, todo elemento é seu próprio inverso, ou seja, o expoente de G é 2.

Passo 3

Agora, tome quaisquer a,bin G. Como ab também é elemento de G, vale (ab)^2=e. Então
(ab)^2 = abab = e Longrightarrow ab = (ab)^-1 = b^-1a^-1 = ba,

Passo 4

portanto ab=ba para todos a,b, o que mostra que G é abeliano.

Resposta

G é abeliano.

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