Considere o grupo
, cuja operação
é definida por
. Prove que
é um grupo não-abeliano. (1.5 pontos)
Passo 1
O exercício pede pra gente mostrar que G = ({(a,b)∈ℝ² ∣ a≠0}, ⊕) é um grupo não-abeliano. O conteúdo é teoria de grupos: a gente vai verificar as quatro propriedades (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e depois provar que a operação não é comutativa.
Passo 2
Primeiro, fechamento: Pego (a,b),(c,d)∈G com a≠0 e c≠0. A operação é (a,b)⊕(c,d)=(a·c, a·d+b). Como a·c≠0 e a·d+b∈ℝ, esse par também está em G. Logo, a operação fecha em G.
Passo 3
Agora, associatividade: Tomo três elementos (a,b),(c,d),(e,f) em G. Calculando de um jeito: ( (a,b)⊕(c,d) )⊕(e,f) = (a·c, a·d+b)⊕(e,f) = (a·c·e, (a·c)·f + (a·d+b) ). Do outro lado: (a,b)⊕( (c,d)⊕(e,f) ) = (a,b)⊕(c·e, c·f+d) = (a·(c·e), a·(c·f+d)+b ). Em ambos aparece (a·c·e, a·c·f + a·d + b), então a operação é associativa.
Passo 4
Elemento neutro: Buscamos (e₁,e₂) tal que (e₁,e₂)⊕(a,b)=(a,b) e (a,b)⊕(e₁,e₂)=(a,b). Pela definição, (e₁·a, e₁·b+e₂)=(a,b) dá e₁=1 e e₁·b+e₂=b ⇒ e₂=0. O mesmo vale trocando a ordem. Assim, o neutro é (1,0).
Passo 5
Inverso: Dado (a,b), procuramos (c,d) com (a,b)⊕(c,d)=(1,0) e (c,d)⊕(a,b)=(1,0). Da primeira condição vem a·c=1 ⇒ c=1/a e a·d+b=0 ⇒ d=−b/a. Conferindo a troca de ordem, dá o mesmo. Logo, o inverso de (a,b) é (1/a, −b/a).
Passo 6
Não-abelianidade: Em geral (a,b)⊕(c,d)=(a·c, a·d+b) e (c,d)⊕(a,b)=(c·a, c·b+d). Mesmo que a·c=c·a, na segunda coordenada a·d+b ≠ c·b+d para escolhas genéricas. Por exemplo, (2,0)⊕(3,1)=(6,2) mas (3,1)⊕(2,0)=(6,7). Então ⊕ não é comutativa.
Resposta
G é de fato um grupo, mas não é abeliano.