Use funções integrais para calcular o valor: ln 0.2.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: calcular ln 0.2 usando a definição de logaritmo natural via funções integrais e mudança de variável.

Passo 2

Definição de logaritmo natural:
ln x = integral1^x 1t , dt

Passo 3

Como 0.2 = tfrac15, escrevemos
ln(0.2) = integral1^1/5 1t , dt
para então aplicar a substituição.

Passo 4

Fazendo a substituição u = 1/t: temos t = 1/u, dt = -1/u^2 , du e quando t vai de 1 até 1/5, u vai de 1 até 5. Então
ln(0.2) = integral1^1/5 1t , dt = -integral1^5 1u , du

Passo 5

Avaliando a integral transformada:
-integral1^5 1u , du = -[ln u]1^5 = -l(ln 5 - ln 1r) = -ln 5

Passo 6

Para obter valor numérico, usamos a propriedade ln 5 = ln 10 - ln 2 com ln 10 approx 2,3026 e ln 2 approx 0,6931. Assim:
ln 5 approx 2,3026 - 0,6931 = 1,6095
Logo:
ln(0.2) approx -1,6095

Resposta

-1.6095

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