Mostre que
. Qual é a interpretação geométrica?
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
e dar a interpretação geométrica dessa identidade.
Informações dadas (claras no enunciado e que vamos usar):
-
é o símbolo de Levi-Civita (índices variam em ). -
são as componentes de um vetor em . - Os índices repetidos
indicam soma (convenção de Einstein): . - O índice
é livre: para cada a expressão fornece uma componente (logo representa um vetor cujas componentes são os -ésimos valores).
Passo 2
Definição e propriedades necessárias (vai ser nossa “aula rápida” sobre os objetos que aparecem).
- Símbolo de Levi-Civita:
vale se é uma permutação par de , vale se for uma permutação ímpar, e vale se dois índices são iguais. Essa propriedade implica que é antissimétrico nas trocas de quaisquer dois índices, isto é, trocando e obtemos - Produto das componentes
é simétrico em : trocar e não muda o valor, pois . - Convenção de Einstein: quando um índice aparece uma vez em cima (livre) e duas vezes repetido, somamos sobre eles automaticamente; aqui
são somados.
Essas duas observações (ε antissimétrico,
simétrico) são a chave: quando um tensor antissimétrico é contraído com um tensor simétrico sobre os mesmos índices o resultado é zero. Vamos demonstrar isso passo a passo.
Passo 3
Prova algébrica direta usando reindexação (passo a passo, sem pular).
Defina
é a componente
do vetor que queremos mostrar que é zero.
Agora perfazemos uma manipulação simples: troque os nomes dos índices de soma
e
(isso é permitido porque são índices “dummies” — somados — e os nomes não importam). Fazendo a troca
obtemos
Usando a antissimetria de
em
temos
. Portanto
Como
(simetria do produto de componentes), substituímos e obtemos
Isto implica
Como
era arbitrário, todas as componentes valem zero:
para
.
Passo 4
Prova explícita por componentes (para você ver no concreto, sem abstração):
- Para
: - Para
: - Para
:
Isso confirma componente a componente que a expressão é zero.
Passo 5
Interpretação geométrica, explicada devagar e de forma intuitiva.
- Recorde (ou aprenda agora) que as componentes do produto vetorial
são dadas por Portanto a expressão é exatamente a componente de . - Geometricamente, o produto vetorial
tem magnitude igual à área do paralelogramo gerado por e , isto é onde é o ângulo entre e . Se então e , logo . - Intuição: o produto vetorial é ortogonal a ambos os vetores e mede a “área” que esses vetores geram. Se os dois vetores são o mesmo vetor, eles são paralelos e o paralelogramo colapsa numa linha (área zero), portanto o vetor resultante tem magnitude zero — isto é, é o vetor nulo.
Passo 6
Uma observação mais geral e útil para provas futuras (mastigue isso porque cai direto em testes):
- Em geral, a contração de um tensor antissimétrico com um tensor simétrico sobre os mesmos índices dá zero. Mais formalmente, se
e , então . A razão é exatamente a manipulação . No nosso caso (antissimétrico em ) e (simétrico), então a contração é nula.
Passo 7
Resumo curto e motivacional: demonstramos algebraicamente e por componentes que
e entendemos geometricamente que isso é porque é o produto vetorial de um vetor por ele mesmo, que sempre dá o vetor nulo (área zero). Dá pra levar essa ideia pro resto da prova: sempre que vir
contra algo simétrico, já acende a lâmpada — é zero. Força aí, você tá indo bem!
Resposta
Interpretação geométrica: é a componente
de
, logo o vetor nulo, pois o produto vetorial de um vetor por ele mesmo tem magnitude zero (os vetores são paralelos, área do paralelogramo = 0).