Mostre que \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k}=0. Qual é a interpretação geométrica?

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k}=0 e dar a interpretação geométrica dessa identidade.
Informações dadas (claras no enunciado e que vamos usar):
  • \epsilon_{i j k} é o símbolo de Levi-Civita (índices i,j,k variam em \{1,2,3\}).
  • \{a_j\} são as componentes de um vetor \mathbf{a} em \mathbb{R}^3.
  • Os índices repetidos j,k indicam soma (convenção de Einstein): \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k}=\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{i j k}a_{j}a_{k}.
  • O índice i é livre: para cada i\in\{1,2,3\} a expressão fornece uma componente (logo \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k} representa um vetor cujas componentes são os i-ésimos valores).

Passo 2

Definição e propriedades necessárias (vai ser nossa “aula rápida” sobre os objetos que aparecem).
  • Símbolo de Levi-Civita: \epsilon_{i j k} vale +1 se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3), vale -1 se for uma permutação ímpar, e vale 0 se dois índices são iguais. Essa propriedade implica que \epsilon_{i j k} é antissimétrico nas trocas de quaisquer dois índices, isto é, trocando j e k obtemos \epsilon_{i k j} = -\epsilon_{i j k}.
  • Produto das componentes a_j a_k é simétrico em j,k: trocar j e k não muda o valor, pois a_j a_k = a_k a_j.
  • Convenção de Einstein: quando um índice aparece uma vez em cima (livre) e duas vezes repetido, somamos sobre eles automaticamente; aqui j,k são somados.
Essas duas observações (ε antissimétrico, a_j a_k simétrico) são a chave: quando um tensor antissimétrico é contraído com um tensor simétrico sobre os mesmos índices o resultado é zero. Vamos demonstrar isso passo a passo.

Passo 3

Prova algébrica direta usando reindexação (passo a passo, sem pular).
Defina
S_i := \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k},
é a componente i do vetor que queremos mostrar que é zero.
Agora perfazemos uma manipulação simples: troque os nomes dos índices de soma j e k (isso é permitido porque são índices “dummies” — somados — e os nomes não importam). Fazendo a troca j \leftrightarrow k obtemos
S_i = \epsilon_{i k j} a_{k} a_{j}.
Usando a antissimetria de \epsilon em j,k temos \epsilon_{i k j} = -\epsilon_{i j k}. Portanto
S_i = -\epsilon_{i j k} a_{k} a_{j}.
Como a_{k} a_{j} = a_{j} a_{k} (simetria do produto de componentes), substituímos e obtemos
S_i = -\epsilon_{i j k} a_{j} a_{k} = -S_i.
Isto implica
S_i = -S_i \quad\Rightarrow\quad 2S_i = 0 \quad\Rightarrow\quad S_i = 0.
Como i era arbitrário, todas as componentes valem zero: \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k}=0 para i=1,2,3.

Passo 4

Prova explícita por componentes (para você ver no concreto, sem abstração):
  • Para i=1: \epsilon_{1 j k} a_j a_k = \epsilon_{1 2 3} a_2 a_3 + \epsilon_{1 3 2} a_3 a_2 = (1)\,a_2 a_3 + (-1)\,a_3 a_2 = a_2 a_3 - a_3 a_2 = 0.
  • Para i=2: \epsilon_{2 j k} a_j a_k = \epsilon_{2 3 1} a_3 a_1 + \epsilon_{2 1 3} a_1 a_3 = (1)\,a_3 a_1 + (-1)\,a_1 a_3 = 0.
  • Para i=3: \epsilon_{3 j k} a_j a_k = \epsilon_{3 1 2} a_1 a_2 + \epsilon_{3 2 1} a_2 a_1 = (1)\,a_1 a_2 + (-1)\,a_2 a_1 = 0.
Isso confirma componente a componente que a expressão é zero.

Passo 5

Interpretação geométrica, explicada devagar e de forma intuitiva.
  • Recorde (ou aprenda agora) que as componentes do produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} são dadas por (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i = \epsilon_{i j k} a_j b_k.Portanto a expressão \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k} é exatamente a componente i de \mathbf{a}\times\mathbf{a}.
  • Geometricamente, o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} tem magnitude igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}, isto é \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta,onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Se \mathbf{b}=\mathbf{a} então \theta=0 e \sin\theta=0, logo \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}.
  • Intuição: o produto vetorial é ortogonal a ambos os vetores e mede a “área” que esses vetores geram. Se os dois vetores são o mesmo vetor, eles são paralelos e o paralelogramo colapsa numa linha (área zero), portanto o vetor resultante tem magnitude zero — isto é, é o vetor nulo.

Passo 6

Uma observação mais geral e útil para provas futuras (mastigue isso porque cai direto em testes):
  • Em geral, a contração de um tensor antissimétrico com um tensor simétrico sobre os mesmos índices dá zero. Mais formalmente, se A_{jk}=-A_{kj} e S_{jk}=S_{kj}, então A_{jk}S_{jk}=0. A razão é exatamente a manipulação A_{jk}S_{jk}=A_{kj}S_{kj}=-A_{jk}S_{jk}\Rightarrow A_{jk}S_{jk}=0. No nosso caso A_{jk}=\epsilon_{i j k} (antissimétrico em j,k) e S_{jk}=a_j a_k (simétrico), então a contração é nula.

Passo 7

Resumo curto e motivacional: demonstramos algebraicamente e por componentes que \epsilon_{i j k} a_{j} a_{k}=0 e entendemos geometricamente que isso é porque é o produto vetorial de um vetor por ele mesmo, que sempre dá o vetor nulo (área zero). Dá pra levar essa ideia pro resto da prova: sempre que vir \epsilon contra algo simétrico, já acende a lâmpada — é zero. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

\epsilon_{i j k} a_{j} a_{k}=0
Interpretação geométrica: é a componente i de \mathbf{a}\times\mathbf{a}, logo o vetor nulo, pois o produto vetorial de um vetor por ele mesmo tem magnitude zero (os vetores são paralelos, área do paralelogramo = 0).

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