Para quais a, b in R o polinômio p(x)=(x+3)^3+(x-1)^3+3 a x+b é divisível por (x-2)^2 ?

Passo 1

O enunciado pede os valores de a,binR tais que o polinômio
p(x) = (x+3)^3 + (x-1)^3 + 3ax + b
é divisível por (x-2)^2. Isso significa que x=2 é raiz dupla de p, ou seja,
p(2)=0 e p'(2)=0

Passo 2

Vamos impor p(2)=0. Calculamos
(2+3)^3 = 5^3 = 125, (2-1)^3 = 1^3 = 1,
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p(2) = 125 + 1 + 3acdot 2 + b = 126 + 6a + b
Para p(2)=0 precisamos de
126 + 6a + b = 0 Longrightarrow b = -126 - 6a

Passo 3

Agora calculamos a derivada
p'(x) = 3(x+3)^2 + 3(x-1)^2 + 3a
Em x=2 isso vale
p'(2) = 3cdot5^2 + 3cdot1^2 + 3a = 75 + 3 + 3a = 78 + 3a
Para p'(2)=0 temos
78 + 3a = 0 Longrightarrow a = -26

Passo 4

Substituindo a=-26 na expressão de b do Passo 2,
b = -126 - 6(-26) = -126 + 156 = 30

Resposta

a = -26, b = 30.

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