O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{4}+1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função f(x)=\dfrac{1}{x^{4}+1}, integrada de x=1 até x\to+\infty. A integral é imprópria porque o intervalo é infinito. O objetivo é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio do denominador x^{4}+1 em quadráticos reais. Vou mostrar a fatoração padrão:
Verificação rápida (para quem quiser checar): multiplicando os dois quadráticos obtém-se x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+2)x^{2}+(a+b)x+1 com a=\sqrt{2}, b=-\sqrt{2}, o que dá x^{4}+1.
Passo 3
Agora faço uma decomposição em frações parciais do tipo
onde A,B,C,D\) são constantes reais a determinar. Multiplicando ambos os lados por \(x^{4}+1\) obtenho
\[1=(Ax+B)(x^{2}-\sqrt{2}x+1)+(Cx+D)(x^{2}+\sqrt{2}x+1).
Expandindo e agrupando coeficientes por potências de x chega-se ao sistema (coeficientes de x^{3},x^{2},x,1):
Da terceira equação, usando A+C=0\], obtemos \(\sqrt{2}(-B+D)=0\Rightarrow D=B. Da última equação 2B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{2},\,D=\tfrac{1}{2}. Da primeira equação C=-A. Substituindo na segunda equação:
(Explicação curta: escrevemos x=\tfrac{1}{2}(2x+b)-\tfrac{b}{2} e separamos \int\frac{2x+b}{2q}dx=\tfrac{1}{2}\ln q e o resto dá a integral do tipo \int\frac{1}{q}dx que é arctan após completar o quadrado.)
Passo 5
Aplico essas fórmulas às duas parcelas (com b=\sqrt{2} e b=-\sqrt{2}). Após calcular os coeficientes e combinar, obtenho uma primitiva comum F(x) dada por
Podemos simplificar o logaritmo: \dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\dfrac{(2+\sqrt{2})^{2}}{2}= e usando 2+\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) obtemos após simplificação