Calcule os limites indicados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto onde o limite é pedido é
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando
os termos de maior grau dominam o comportamento de polinômios. Aqui o maior grau em ambos polinômios é
. Uma forma prática e segura é dividir numerador e denominador por
(o maior grau), para tornar explícito o que sobra quando
cresce demais.
Passo 3
Vou dividir numerador e denominador por
. Escrevo a expressão como
Passo 4
Simplificando os quocientes dentro da fração obtemos
Agora vamos estudar o comportamento dos termos com potências negativas quando
.
Passo 5
Fato importante (e simples de entender): para qualquer inteiro
vale
quando
. Intuitivamente isso acontece porque
e o inverso de um número que cresce sem limite tende a
. Aplicando isso aos termos acima:
quando
.
Passo 6
Tomando o limite da expressão simplificada e usando que o limite da soma é a soma dos limites (quando existem) e o limite de uma razão é a razão dos limites (se o limite do denominador não for
), obtemos
Pelos resultados do passo anterior isso é
Passo 7
Calculando a fração final dá
Dica rápida para prova: para racionais de polinômios com mesmo grau no numerador e denominador, o limite em
é sempre a razão dos coeficientes principais (aqui
e
), ou seja
.