(3,0) Calcule os limites indicados abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{8 x^{4}+8 x+4}{2 x^{4}+100 x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{8x^{4}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 8x^{4}+8x+4.
  • O denominador é o polinômio 2x^{4}+100x^{2}+3.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to+\infty.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando x\to\infty os termos de maior grau dominam o comportamento de polinômios. Aqui o maior grau em ambos polinômios é 4. Uma forma prática e segura é dividir numerador e denominador por x^{4} (o maior grau), para tornar explícito o que sobra quando x cresce demais.

Passo 3

Vou dividir numerador e denominador por x^{4}. Escrevo a expressão como
\frac{8x^{4}+8x+4}{2x^{4}+100x^{2}+3} = \frac{\displaystyle\frac{8x^{4}}{x^{4}}+\frac{8x}{x^{4}}+\frac{4}{x^{4}}}{\displaystyle\frac{2x^{4}}{x^{4}}+\frac{100x^{2}}{x^{4}}+\frac{3}{x^{4}}}.

Passo 4

Simplificando os quocientes dentro da fração obtemos
\frac{8 + \dfrac{8}{x^{3}} + \dfrac{4}{x^{4}}}{2 + \dfrac{100}{x^{2}} + \dfrac{3}{x^{4}}}.
Agora vamos estudar o comportamento dos termos com potências negativas quando x\to+\infty.

Passo 5

Fato importante (e simples de entender): para qualquer inteiro k>0 vale \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to+\infty. Intuitivamente isso acontece porque x^{k}\to+\infty e o inverso de um número que cresce sem limite tende a 0. Aplicando isso aos termos acima:
\frac{8}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{4}{x^{4}}\to 0,\qquad \frac{100}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{3}{x^{4}}\to 0,
quando x\to+\infty.

Passo 6

Tomando o limite da expressão simplificada e usando que o limite da soma é a soma dos limites (quando existem) e o limite de uma razão é a razão dos limites (se o limite do denominador não for 0), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{8 + \dfrac{8}{x^{3}} + \dfrac{4}{x^{4}}}{2 + \dfrac{100}{x^{2}} + \dfrac{3}{x^{4}}} = \frac{\; \lim_{x\to+\infty}\big(8 + \dfrac{8}{x^{3}} + \dfrac{4}{x^{4}}\big) \;}{\; \lim_{x\to+\infty}\big(2 + \dfrac{100}{x^{2}} + \dfrac{3}{x^{4}}\big)\;}.
Pelos resultados do passo anterior isso é
\frac{8 + 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{8}{2}.

Passo 7

Calculando a fração final dá
\frac{8}{2} = 4.
Dica rápida para prova: para racionais de polinômios com mesmo grau no numerador e denominador, o limite em +\infty é sempre a razão dos coeficientes principais (aqui 8 e 2), ou seja 8/2.

Resposta

4

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