(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
f(x)=\sqrt{|x+2|-|x|}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{|x+2|-|x|} e pede o domínio dela.
Isto significa: encontrar todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão dentro da raiz quadrada está definida e é maior ou igual a zero. As informações relevantes são:
  • A expressão dentro da raiz é |x+2|-|x|.
  • A raiz quadrada pede que |x+2|-|x| \ge 0.
  • As funções valor absoluto |\,\cdot\,| estão definidas para todo x, então não há outras restrições além da desigualdade acima.

Passo 2

Estratégia e revisão rápida do que é valor absoluto: para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Como as expressões dentro dos módulos trocam de forma quando mudam de sinal, vamos estudar a desigualdade
|x+2|-|x|\ge 0
em intervalos determinados pelos pontos onde os argumentos dos módulos são zero, isto é, em x=-2\] e \(x=0. Portanto consideramos três casos: x<-2, -2\le x<0 e x\ge 0.]

Passo 3

Caso 1: x<-2. Aqui x+2<0 e x<0. Então, aplicando a definição do módulo,
|x+2|=-(x+2)=-x-2,\qquad |x|=-x.
Substituindo,
|x+2|-|x| = (-x-2)-(-x) = -2.
Como -2<0, a desigualdade |x+2|-|x|\ge 0 não é satisfeita para nenhum x<-2. Portanto não há soluções neste caso.

Passo 4

Caso 2: -2\le x<0. Aqui x+2\ge 0 e x<0. Então
|x+2|=x+2,\qquad |x|=-x.
Substituindo,
|x+2|-|x| = (x+2)-(-x) = 2x+2.
Agora resolvemos a desigualdade
2x+2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x \ge -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge -1.
Interseccionando com o intervalo do caso -2\le x<0, obtemos -1\le x<0. Note que em x=-1 a expressão dentro da raiz é zero, o que é permitido (a raiz de zero é 0).

Passo 5

Caso 3: x\ge 0. Aqui x+2\ge0 e x\ge0, logo
|x+2|=x+2,\qquad |x|=x.
Substituindo,
|x+2|-|x| = (x+2)-x = 2.
Como 2\ge 0 para todo x\ge 0, toda a faixa x\ge 0 satisfaz a desigualdade.

Passo 6

Juntando as soluções dos casos: do Caso 2 temos -1\le x<0 e do Caso 3 temos x\ge 0. A união é
[-1,0)\cup[0,\infty) = [-1,\infty).
Portanto o domínio da função é todos os x maiores ou iguais a -1.

Resposta

[-1,\infty)

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