(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dela.
Isto significa: encontrar todos os para os quais a expressão dentro da raiz quadrada está definida e é maior ou igual a zero. As informações relevantes são:
Isto significa: encontrar todos os
- A expressão dentro da raiz é
. - A raiz quadrada pede que
. - As funções valor absoluto
estão definidas para todo , então não há outras restrições além da desigualdade acima.
Passo 2
Estratégia e revisão rápida do que é valor absoluto: para qualquer número real
Como as expressões dentro dos módulos trocam de forma quando mudam de sinal, vamos estudar a desigualdade
em intervalos determinados pelos pontos onde os argumentos dos módulos são zero, isto é, em
. Portanto consideramos três casos:
,
e
.]
Passo 3
Caso 1:
. Aqui
e
. Então, aplicando a definição do módulo,
Substituindo,
Como
, a desigualdade
não é satisfeita para nenhum
. Portanto não há soluções neste caso.
Passo 4
Caso 2:
. Aqui
e
. Então
Substituindo,
Agora resolvemos a desigualdade
Interseccionando com o intervalo do caso
, obtemos
. Note que em
a expressão dentro da raiz é zero, o que é permitido (a raiz de zero é
).
Passo 5
Caso 3:
. Aqui
e
, logo
Substituindo,
Como
para todo
, toda a faixa
satisfaz a desigualdade.
Passo 6
Juntando as soluções dos casos: do Caso 2 temos
e do Caso 3 temos
. A união é
Portanto o domínio da função é todos os
maiores ou iguais a
.