Um tarugo cilíndrico de aço de baixo carbono, com 25 cm de diâmetro, deve ter sua temperatura mínima aumentada para
, por meio da passagem por um longo forno tipo pista com 6 m de comprimento. Se os gases do forno estiverem a uma temperatura de
e o coeficiente total de transferência de calor na parte externa do tarugo for
, determine a velocidade máxima na qual um tarugo contínuo, entrando a
, pode percorrer o forno. Condutividade térmica: 60,5
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do problema:
O que é pedido:
de modo que sua temperatura, ao sair do forno (após percorrer
), seja pelo menos
^\circC).
Observação importante: o enunciado não fornece densidade
nem calor específico
. Para proceder, usamos propriedades típicas do aço baixo carbono:
Se a sua prova der esses valores, use-os; aqui eu os adoto por serem valores padrão.
Passo 2
Verificar se podemos usar o modelo de corpo com temperatura uniforme (método de capacitância concentrada, “lumped capacitance”).
Definição do comprimento característico para um cilindro:
Substituindo:
Calculamos o número de Biot:
Substituindo os valores:
Critério: se
podemos considerar que a temperatura é praticamente uniforme no interior do corpo durante o aquecimento (modelo lumped capacitance). Aqui
<0{,}1), logo o modelo é válido. Isso simplifica muito as contas e é uma suposição padrão nessas questões.
Passo 3
Apresentar e justificar a equação do modelo de capacitância concentrada (método que usaremos).
Balanço de energia para o tarugo (temperatura uniforme
):
onde
Dividindo ambos os lados por
e lembrando que
, obtemos a forma usual:
porque
.
Solução da equação diferencial (condição inicial
):
Definimos a constante de tempo:
Assim:
Passo 4
Isolar o tempo
necessário para que
e calcular numericamente esse tempo.
Da equação:
Isolando
:
Calcular
:
Fazendo as contas em passos:
Calcular o fator logarítmico:
(Usei diferença de temperaturas em módulo; a razão é a mesma.)
Logo o tempo:
Convertendo:
Interpretação: o tarugo precisa permanecer aproximadamente
minutos no forno para aquecer de
C até
C, nas condições dadas.
Passo 5
Calcular a velocidade máxima
que dá esse tempo de residência no forno de comprimento
.
Relação entre tempo e velocidade para movimento contínuo:
Substituindo números:
Converter para unidades mais usuais:
ou seja
Também em m/h:
Passo 6
Verificação e comentários finais (motivação e checagem rápida).
- Cheque rápido da hipótese: como
<0{,}1), a suposição de temperatura uniforme foi adequada; se
fosse maior, teríamos que usar soluções mais complicadas (Heisler/series para cilindro). - Eu usei valores típicos de
e para aço baixo carbono ( ), )). Se a prova der outros valores, repita os cálculos com esses. - Resultado final arredondado com sentido prático: a esteiras do tipo pista podem operar por volta de \ \mathrm{m/min}) para alcançar o aquecimento pedido.