Um tarugo cilíndrico de aço de baixo carbono, com 25 cm de diâmetro, deve ter sua temperatura mínima aumentada para 760^{\circ} \mathrm{C}, por meio da passagem por um longo forno tipo pista com 6 m de comprimento. Se os gases do forno estiverem a uma temperatura de 1538^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente total de transferência de calor na parte externa do tarugo for 68 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, determine a velocidade máxima na qual um tarugo contínuo, entrando a 204^{\circ} \mathrm{C}, pode percorrer o forno. Condutividade térmica: 60,5

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do problema:
\begin{aligned} &\text{diâmetro do tarugo: } D=25\\ \text{cm}=\(0,25\)\ \text{m},\\ &\text{logo raio: } R=\frac{D}{2}=\(0,125\)\ \text{m},\\ &\text{comprimento do forno: } L=\(6\)\ \text{m},\\ &\text{temperatura dos gases (ambiente do tarugo): } T_\infty=\(1538\)^\circ\text{C},\\ &\text{temperatura inicial do tarugo (entrada): } T_i=\(204\)^\circ\text{C},\\ &\text{temperatura mínima desejada (saída): } T_s=\(760\)^\circ\text{C},\\ &\text{coeficiente total de transmissão de calor (superfície): } h=\(68\)\ \mathrm{W/m^2\,K},\\ &\text{condutividade térmica do aço: } k=\(60{,}5\)\ \mathrm{W/m\,K}. \end{aligned}
O que é pedido:
\text{velocidade máxima } v \text{ (m/s)} \text{ à qual o tarugo contínuo pode percorrer o forno}áàí
de modo que sua temperatura, ao sair do forno (após percorrer L), seja pelo menos T_s=\(760^\circC).
Observação importante: o enunciado não fornece densidade \rho nem calor específico c. Para proceder, usamos propriedades típicas do aço baixo carbono:
\rho=\(7850\)\ \mathrm{kg/m^3},\qquad c=\(460\)\ \mathrm{J/kg\,K}.
Se a sua prova der esses valores, use-os; aqui eu os adoto por serem valores padrão.

Passo 2

Verificar se podemos usar o modelo de corpo com temperatura uniforme (método de capacitância concentrada, “lumped capacitance”).
Definição do comprimento característico para um cilindro:
L_c=\frac{V}{A_s}=\frac{\pi R^2 L}{2\pi R L}=\frac{R}{2}.
Substituindo:
L_c=\frac{R}{2}=\frac{\(0,125\)}{2}=\(0,0625\)\ \text{m}.
Calculamos o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\frac{\(68\)\cdot\(0,0625\)}{\(60{,}5\)}=\frac{\(4{,}25\)}{\(60{,}5\)}\approx \(0{,}0703\).
Critério: se \mathrm{Bi}<0{,}1 podemos considerar que a temperatura é praticamente uniforme no interior do corpo durante o aquecimento (modelo lumped capacitance). Aqui \mathrm{Bi}\approx\(0{,}0703<0{,}1), logo o modelo é válido. Isso simplifica muito as contas e é uma suposição padrão nessas questões.

Passo 3

Apresentar e justificar a equação do modelo de capacitância concentrada (método que usaremos).
Balanço de energia para o tarugo (temperatura uniforme T(t)):
m c \frac{dT}{dt}=h A_s\bigl(T_\infty-T(t)\bigr),
onde
m=\rho V,\qquad V=\pi R^2 L,\qquad A_s=2\pi R L.
Dividindo ambos os lados por m c e lembrando que \dfrac{A_s}{V}=\dfrac{2\pi R L}{\pi R^2 L}=\dfrac{2}{R}, obtemos a forma usual:
\frac{dT}{dt}=\frac{h A_s}{m c}\bigl(T_\infty-T\bigr) =\frac{h}{\rho c L_c}\bigl(T_\infty-T\bigr),
porque L_c=V/A_s=R/2.
Solução da equação diferencial (condição inicial T(0)=T_i):
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\biggl(-\frac{h A_s}{m c}\,t\biggr) =\exp\!\biggl(-\frac{h}{\rho c L_c}\,t\biggr).
Definimos a constante de tempo:
\tau=\frac{\rho c L_c}{h}.
Assim:
T(t)=T_\infty+\bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\bigl(-t/\tau\bigr).

Passo 4

Isolar o tempo t necessário para que T(t)=T_s e calcular numericamente esse tempo.
Da equação:
\frac{T_s-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\bigl(-t/\tau\bigr).
Isolando t:
t=\tau\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_s-T_\infty}\right).
Calcular \tau:
\tau=\frac{\rho c L_c}{h} =\frac{\(\,7850\,\)\cdot\(\,460\,\)\cdot\(\,0{,}0625\,\)}{\(68\)}.
Fazendo as contas em passos:
\rho c=\(7850\)\cdot\(460\)=\(3\,611\,000\)\ \mathrm{J/(m^3\,K)},
\rho c L_c=\(3\,611\,000\)\cdot\(0{,}0625\)=\(225\,687{,}5\)\ \mathrm{J/(m^2\,K)},
\tau=\frac{\(225\,687{,}5\)}{\(68\)}\approx\(3\,320{,}11\)\ \text{s}.
Calcular o fator logarítmico:
T_\infty-T_i=\(1538\)-\(204\)=\(1\,334\)\ \text{K},
T_\infty-T_s=\(1538\)-\(760\)=\(778\)\ \text{K},
\ln\!\left(\frac{T_i-T_\infty}{T_s-T_\infty}\right) =\ln\!\left(\frac{\(-1334\)}{\(-778\)}\right) =\ln\!\left(\frac{\(1334\)}{\(778\)}\right) \approx\ln\!\bigl(1{,}71465\bigr)\approx\(0{,}53902\).
(Usei diferença de temperaturas em módulo; a razão é a mesma.)
Logo o tempo:
t=\tau\cdot\(0{,}53902\)=\(3\,320{,}11\)\cdot\(0{,}53902\)\approx\(1\,789{,}0\)\ \text{s}.
Convertendo:
t\approx\(1\,789{,}0\)\ \text{s}\approx\(29{,}82\)\ \text{min}.
Interpretação: o tarugo precisa permanecer aproximadamente 29{,}8 minutos no forno para aquecer de 204^\circC até 760^\circC, nas condições dadas.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v que dá esse tempo de residência no forno de comprimento L.
Relação entre tempo e velocidade para movimento contínuo:
t=\frac{L}{v}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{L}{t}.
Substituindo números:
v=\frac{\(6\)}{\(1\,789{,}0\)}\ \mathrm{m/s}\approx\(0{,}003354\)\ \mathrm{m/s}.
Converter para unidades mais usuais:
v\approx\(0{,}003354\)\ \mathrm{m/s}\cdot60=\(0{,}2012\)\ \mathrm{m/min},
ou seja
v\approx\(20{,}12\)\ \mathrm{cm/min}.
Também em m/h:
v\approx\(0{,}003354\)\cdot3600=\(12{,}07\)\ \mathrm{m/h}.

Passo 6

Verificação e comentários finais (motivação e checagem rápida).
  • Cheque rápido da hipótese: como \mathrm{Bi}\approx\(0{,}0703<0{,}1), a suposição de temperatura uniforme foi adequada; se \mathrm{Bi} fosse maior, teríamos que usar soluções mais complicadas (Heisler/series para cilindro).
  • Eu usei valores típicos de \rho e c para aço baixo carbono ( \rho=\(7850), c=\(460)). Se a prova der outros valores, repita os cálculos com esses.
  • Resultado final arredondado com sentido prático: a esteiras do tipo pista podem operar por volta de \(0{,}20\ \mathrm{m/min}) para alcançar o aquecimento pedido.

Resposta

v \approx 0{,}00335\\ \mathrm{m/s}
v \approx 0{,}201\\ \mathrm{m/min}

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