(b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arctan (x)}
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo aqui é limites de funções, e vamos precisar reconhecer que é uma forma indeterminada
e usar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Ao substituir direto
temos
, ou seja, uma forma indeterminada. Isso nos autoriza a aplicar a regra de L’Hôpital, que diz para derivar numerador e denominador separadamente.
Derivando o numerador obtemos
. Derivando o denominador
obtemos
. Assim, pela regra de L’Hôpital, o limite passa a ser
Derivando o numerador
Passo 3
Simplificando a fração invertida, temos
. Portanto o limite fica
Resposta
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