(b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\arctan (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0xarctan(x). O conteúdo aqui é limites de funções, e vamos precisar reconhecer que é uma forma indeterminada 0/0 e usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Ao substituir direto x=0 temos 0/arctan(0)=0/0, ou seja, uma forma indeterminada. Isso nos autoriza a aplicar a regra de L’Hôpital, que diz para derivar numerador e denominador separadamente.
Derivando o numerador x obtemos 1. Derivando o denominador arctan(x) obtemos 11+x^2. Assim, pela regra de L’Hôpital, o limite passa a ser
limxto0xarctan(x)=limxto0111+x^2

Passo 3

Simplificando a fração invertida, temos 1tfrac11+x^2=1+x^2. Portanto o limite fica
limxto0(1+x^2)=1+0=1

Resposta

1

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