(b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ^{2} x-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 0cos^2 x - 1x^2. O conteúdo envolve limites e identidades trigonométricas, e vamos precisar do limite trigonométrico clássico limxto0sin xx=1 e da identidade cos^2 x - 1 = -sin^2 x.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para simplificar o numerador: cos^2 x - 1 = -sin^2 x. Assim o limite fica
limxto0cos^2 x - 1x^2 = limxto0 -sin^2 xx^2

Passo 3

Fatoramos o quadrado do seno sobre x:
-sin^2 xx^2 = -l(sin xxr)^2
Como sabemos que limxto0sin xx=1, segue que
limxto0 -l(sin xxr)^2 = -1^2 = -1

Resposta

-1

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