(e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{9 x+1}}{\sqrt{x-1}}

Passo 1

Estamos buscando o limite de raiz9x+1raizx-1 quando xto +infty. O conteúdo envolvido é teoria de limites no infinito e comportamento assintótico de radicais: vamos precisar comparar termos de maior ordem em x.

Passo 2

Primeiro, fatoramos x dentro de cada raiz. Observe:
raiz9x+1 = raizx raiz9 + 1x
raizx-1 = raizx raiz1 - 1x

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração, obtemos:
raiz9x+1raizx-1 = raizx,raiz9 + 1xraizx,raiz1 - 1x = raiz9 + tfrac1xraiz1 - tfrac1x

Passo 4

A função raiz quadrada é contínua, então podemos levar o limite para dentro dos radicais. Como limxto+infty tfrac1x = 0, temos:
limxto+infty raiz9 + tfrac1x = raiz9 = 3
limxto+infty raiz1 - tfrac1x = raiz1 = 1

Passo 5

Logo, o limite da fração é
31 = 3

Resposta

3

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