x^prime=A x=(ccc 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -3 & 2 & 4 ) x
(a) Mostre que r=2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de coeficientes A e que existe apenas um autovetor associado, a saber,
xi^(1)=(c 0 1 -1 )
(b) Usando a informação do item (a), escreva uma solução x^(1)(t) do sistema (1). Não existe outra solução da forma puramente exponencial x=xi e^r t.
© Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=xi t e^2 t+eta e^2 t. Mostre que xi e eta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi
Como xi já foi encontrado no item (a), resolva a segunda equação para eta. Despreze o múltiplo de xi^(1) que aparece em eta, já que nos leva, apenas, a um múltiplo da primeira solução x^(1)(t). Depois, escreva uma segunda solução x^(2)(t) do sistema (1).
(d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=xi(t^2 / 2) e^2 t+eta t e^2 t+zeta e^2 t. Mostre que xi, eta e zeta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi, (A-2 I) zeta=eta
As duas primeiras equações são as mesmas do item ©, logo, para resolver a equação para zeta despreze novamente o múltiplo de xi^(1) que aparece. Depois, escreva uma terceira solução x^(3)(t) do sistema (1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema x'=Ax com
A=1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -3 & 2 & 4
usando autovalor r=2 de multiplicidade algébrica 3, encontrando o único autovetor e depois construindo duas soluções generalizadas para completar uma base de soluções independentes.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Como
A - rI = 1-r & 1 & 1 2 & 1-r & -1 -3 & 2 & 4-r,
então
det(A-rI) = -(r-2)^3
Logo r=2 é autovalor de multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para achar o autovetor, resolvemos
(A-2I)xi=0,
ou seja
-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2 u1u2u3=0
Dessas equações obtemos u1=0, u3=-u2, então o espaço próprio é gerado por
xi^(1)=01-1

Passo 4

Como em multiplicidade geométrica só temos um autovetor, a primeira solução é puramente exponencial:
x^(1)(t)=xi^(1)e^2t
Não há outra solução da forma xie^2t independentemente.

Passo 5

Para a segunda solução, procuramos
x(t)=xi^(1)te^2t+etae^2t
Isso leva às condições
(A-2I)xi^(1)=0, (A-2I)eta=xi^(1)
Já temos xi^(1), então resolvemos
-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2eta =01-1
Dessa forma obtemos infinitas soluções do tipo
eta=(1,a,1-a)^T. Escolhemos, por simplicidade,
eta=101

Passo 6

A segunda solução fica então
x^(2)(t)=xi^(1)t e^2t+etae^2t =01-1te^2t+101e^2t

Passo 7

Para a terceira solução, tomamos
x(t)=xi^(1)t^22e^2t+etate^2t+zetae^2t
e obtemos o sistema
(A-2I)zeta=eta
Resolvendo
-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2zeta =101
ficamos com zeta=(1,b,2-b)^T. Escolhemos, por simplicidade,
zeta=102

Passo 8

A terceira solução é então
x^(3)(t)=xi^(1)t^22e^2t+etate^2t+zetae^2t =01-1t^22e^2t+ 101te^2t+ 102e^2t

Resposta

As três soluções linearmente independentes são:
  1. x^(1)(t)=01-1e^2t,
  2. x^(2)(t)=01-1te^2t+101e^2t,
  3. (\displaystyle \mathbf{x}{(3)}(t)=\begin{pmatrix}0\1\-1\end{pmatrix}\frac{t2}{2}e{2t}+\begin{pmatrix}1\0\1\end{pmatrix}te{2t}+ 01-1e^{2t}.

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