Como xi já foi encontrado no item (a), resolva a segunda equação para eta. Despreze o múltiplo de xi^(1) que aparece em eta, já que nos leva, apenas, a um múltiplo da primeira solução x^(1)(t). Depois, escreva uma segunda solução x^(2)(t) do sistema (1).
(d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=xi(t^2 / 2) e^2 t+eta t e^2 t+zeta e^2 t. Mostre que xi, eta e zeta satisfazem as equações
O enunciado pede para resolver o sistema x'=Ax com
A=1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -3 & 2 & 4
usando autovalor r=2 de multiplicidade algébrica 3, encontrando o único autovetor e depois construindo duas soluções generalizadas para completar uma base de soluções independentes.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de A. Como
A - rI = 1-r & 1 & 1 2 & 1-r & -1 -3 & 2 & 4-r,
então
det(A-rI) = -(r-2)^3
Logo r=2 é autovalor de multiplicidade algébrica 3.
Passo 3
Para achar o autovetor, resolvemos
(A-2I)xi=0,
ou seja
-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2 u1u2u3=0
Dessas equações obtemos u1=0, u3=-u2, então o espaço próprio é gerado por
xi^(1)=01-1
Passo 4
Como em multiplicidade geométrica só temos um autovetor, a primeira solução é puramente exponencial:
x^(1)(t)=xi^(1)e^2t
Não há outra solução da forma xie^2t independentemente.
Passo 5
Para a segunda solução, procuramos
x(t)=xi^(1)te^2t+etae^2t
Isso leva às condições
(A-2I)xi^(1)=0, (A-2I)eta=xi^(1)
Já temos xi^(1), então resolvemos
-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2eta =01-1
Dessa forma obtemos infinitas soluções do tipo eta=(1,a,1-a)^T. Escolhemos, por simplicidade,
eta=101
Passo 6
A segunda solução fica então
x^(2)(t)=xi^(1)t e^2t+etae^2t =01-1te^2t+101e^2t
Passo 7
Para a terceira solução, tomamos
x(t)=xi^(1)t^22e^2t+etate^2t+zetae^2t
e obtemos o sistema
(A-2I)zeta=eta
Resolvendo
-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2zeta =101
ficamos com zeta=(1,b,2-b)^T. Escolhemos, por simplicidade,